Seja
um espaço vetorial. Dado
chama-se homotetia determinada pelo escalar
a aplicação
tal que
. Mostrar que
é um operador linear.
Passo 1
O enunciado define, num espaço vetorial
sobre
, a aplicação
para um escalar fixo
. Queremos mostrar que
é linear, ou seja, satisfaz as duas propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Verificamos a aditividade: para quaisquer vetores
,
Isso mostra que
leva soma de vetores na soma das imagens.
Passo 3
Verificamos a homogeneidade (compatibilidade com escalar): para qualquer escalar
e qualquer vetor
,
Isso mostra que
leva múltiplo escalar para o múltiplo escalar da imagem.
Resposta
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é um operador linear.