Seja V um espaço vetorial. Dado lambda in R chama-se homotetia determinada pelo escalar lambda a aplicação Hlambda: V V tal que Hlambda(u)=lambda u, forall u in V. Mostrar que Hlambda é um operador linear.

Passo 1

O enunciado define, num espaço vetorial V sobre R, a aplicação
Hlambda:V to V, Hlambda(u)=lambda,u
para um escalar fixo lambdainR. Queremos mostrar que Hlambda é linear, ou seja, satisfaz as duas propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade: para quaisquer vetores u,vin V,
Hlambda(u+v) =lambda,(u+v) =lambda,u+lambda,v =Hlambda(u)+Hlambda(v)
Isso mostra que Hlambda leva soma de vetores na soma das imagens.

Passo 3

Verificamos a homogeneidade (compatibilidade com escalar): para qualquer escalar alphainR e qualquer vetor uin V,
Hlambda(alpha,u) =lambda,(alpha,u) =(lambda,alpha),u =alpha,(lambda,u) =alpha,Hlambda(u)
Isso mostra que Hlambda leva múltiplo escalar para o múltiplo escalar da imagem.

Resposta

Como Hlambda satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é um operador linear.

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