Questão 1. Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear. Sabe-se que os vetores v_{1}=(1,0,1), v_{2}=(0,1,1), v_{3}=(1,1,1) formam uma base de \mathbb{R}^{3} e que T\left(v_{1}\right)=(3,2), T\left(v_{2}\right)=(1,-1), T\left(v_{3}\right)=(0,4).
(a) Determine a expressão geral de T(x, y, z).
(b) Calcule T(2,-1,1).
Verifique se o vetor (5,3) pertence à imagem de T.

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
cuja ação em três vetores \,v_{1}=(1,0,1), \,v_{2}=(0,1,1), \,v_{3}=(1,1,1)
— que formam base de \mathbb{R}^{3} — é dada por
T(v_{1})=(3,2),\quad T(v_{2})=(1,-1),\quad T(v_{3})=(0,4).
(a) Pede-se a expressão geral de T(x,y,z).
(b) Calcular T(2,-1,1).
Em seguida, verificar se (5,3) pertence à imagem de T.

Passo 2

Como v_{1},v_{2},v_{3} é base, qualquer (x,y,z) pode ser escrito como
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=(x,y,z).
Em coordenadas isso dá o sistema
\begin{cases} x = a + 0\cdot b + c,\\\ y = 0\cdot a + b + c,\\\ z = a + b + c. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos
a = x - c,\qquad b = y - c.
Substituindo na terceira:
z = (x-c)+(y-c)+c = x+y - c \quad\Longrightarrow\quad c = x+y - z.
Logo
a = x - (x+y - z) = z - y, \qquad b = y - (x+y - z) = z - x.

Passo 4

Pela linearidade
T(x,y,z) = a\,T(v_{1}) + b\,T(v_{2}) + c\,T(v_{3}) = a\,(3,2) + b\,(1,-1) + c\,(0,4).
Substituindo a=z-y, b=z-x, c=x+y-z:
primeira componente
3a + b = 3(z-y) + (z-x) = 4z - x - 3y,
segunda componente
2a - b + 4c = 2(z-y) - (z-x) + 4(x+y-z) = 5x + 2y - 3z.
Portanto
\boxed{T(x,y,z) = \bigl(4z - x - 3y,\;5x + 2y - 3z\bigr).}

Passo 5

Para (2,-1,1) basta trocar na fórmula:
T(2,-1,1) = \bigl(4\cdot1 - 2 - 3\cdot(-1),\;5\cdot2 + 2\cdot(-1) - 3\cdot1\bigr) = (4 -2 +3,\;10 -2 -3) = (5,5).

Passo 6

Queremos ver se existe (x,y,z)\) tal que \[(4z - x -3y,\;5x +2y -3z) = (5,3).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -x - 3y +4z = 5,\\\\ 5x +2y -3z = 3. \end{cases}
São duas equações em três incógnitas, e ao resolver obtemos soluções reais (por exemplo, em função de z\]). Logo existe \((x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfaz, isto é, (5,3) pertence à imagem de T.

Resposta

(a) \displaystyle T(x,y,z) = \bigl(4z - x - 3y,\;5x + 2y - 3z\bigr).
(b) T(2,-1,1) = (5,5).
O vetor (5,3) pertence à imagem de T.

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