Questão 1. Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma transformação linear. Sabe-se que os vetores v_{1}=(1,0,1), v_{2}=(0,1,1), v_{3}=(1,1,1) formam uma base de \mathbb{R}^{3} e que T\left(v_{1}\right)=(3,2), T\left(v_{2}\right)=(1,-1), T\left(v_{3}\right)=(0,4).
(a) Determine a expressão geral de T(x, y, z).
(b) Calcule T(2,-1,1).
Verifique se o vetor (5,3) pertence à imagem de T.
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}
cuja ação em três vetores \,v_{1}=(1,0,1), \,v_{2}=(0,1,1), \,v_{3}=(1,1,1)
— que formam base de \mathbb{R}^{3} — é dada por
São duas equações em três incógnitas, e ao resolver obtemos soluções reais (por exemplo, em função de z\]). Logo existe \((x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} que satisfaz, isto é, (5,3) pertence à imagem de T.
Resposta
(a) \displaystyle T(x,y,z) = \bigl(4z - x - 3y,\;5x + 2y - 3z\bigr).
(b) T(2,-1,1) = (5,5).
O vetor (5,3)pertence à imagem de T.