Sejam F in L(R^3, R^2) e G in L(R^2, R^3), dadas por F(x, y, z)=(x-y, y-z) e G(x, y)=(x-y, y-x, x+y). Sendo I o operador idêntico do R^3, Determine o Ker(GoF+I) e (GoF+I)^-1.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo:
Queremos estudar a aplicação
A = Gcirc F + Icolon R^3toR^3,
em que
F(x,y,z)=(x-y,;y-z), G(u,v)=(u-v,;v-u,;u+v),
e I é o operador idêntico em R^3.
Vamos (1) encontrar ker A e (2) mostrar que A é inversível, achando A^-1.

Passo 2

Cálculo de Gcirc F.
Para (x,y,z)inR^3 temos
Gcirc F(x,y,z) =Gl(x-y,;y-zr) =l((x-y)-(y-z),,(y-z)-(x-y),,(x-y)+(y-z)r)
Simplificando cada componente:
(x-y)-(y-z)=x-2y+z, (y-z)-(x-y)=-(x-2y+z), (x-y)+(y-z)=x-z
Logo
Gcirc F(x,y,z)=(,x-2y+z,;-(x-2y+z),;x-z,)

Passo 3

Escrevendo A=Gcirc F+I, então
A(x,y,z) =(Gcirc F)(x,y,z)+(x,y,z) =(2x-2y+z,;-x+3y-z,;x)

Passo 4

Determinação de
isto é
Da terceira equação vem , ou seja

Passo 5

Cálculo de A^-1.
Seja (u,v,w)=A(x,y,z). Então
u=2x-2y+z, v=-x+3y-z, w=x
Da terceira equação vem imediatamente x=w.
Substituindo em u e v obtemos o sistema em y,z:
-2y+z = u-2w, 3y-z = v+w
Somando as duas equações dá
y = u+v-w
E então
z =3y - (v+w) =3(u+v-w)-(v+w)=3u+2v-4w
Portanto
A^-1(u,v,w) =l(x,y,zr) =l(w,;u+v-w,;3u+2v-4wr)

Resposta

ker(Gcirc F + I)=(0,0,0)
O inverso é
(Gcirc F + I)^-1(u,v,w) =l(w,;u+v-w,;3u+2v-4wr)

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