Determinar a equação do plano que contém a circunferência que é a interseção das superfícies x^2+y^2+z^2-4 z=0 e x^2+y^2+z^2-2 x-2 y+1=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém a circunferência dada pela interseção de duas superfícies, cada uma definida por uma equação quadrática em (x,y,z). O conteúdo aqui é geometria analítica de esferas e a propriedade de que a interseção de duas esferas está contida no plano obtido ao subtrair suas equações (plano radical).

Passo 2

Anotemos as duas superfícies (esferas):
S1:;x^2+y^2+z^2-4z=0,
S2:;x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0

Passo 3

Para encontrar o plano que contém a interseção, subtraímos membro a membro S2 de S1, eliminando os termos quadráticos:
l(x^2+y^2+z^2-4zr);-;l(x^2+y^2+z^2-2x-2y+1r)=0,
o que dá
-4z+2x+2y-1=0

Passo 4

Reorganizando o resultado, obtemos
2x+2y-4z=1,
e dividindo por 2,
x+y-2z=tfrac12

Resposta

x+y-2z=tfrac12

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