Provar que o ponto
é o ponto da elipse
, mais longe do foco
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na elipse
o ponto que fica mais longe do foco
, com
, é
.
Conteúdo: otimização com restrição (ou simplesmente estudar uma função de uma variável no intervalo fechado ).
Conteúdo: otimização com restrição (ou simplesmente estudar uma função de uma variável no intervalo fechado
Passo 2
Chamemos
Como maximizar
ou maximizar
dá o mesmo ponto, trataremos
.
Passo 3
Da equação da elipse temos
logo em todo ponto da elipse
vale
para
.
Passo 4
Vamos estudar
como função de
em
. Primeiro derivamos:
Colocando em evidência
e reorganizando,
Como
, temos
Passo 5
A condição
dá
Mas como
, segue
. Esse ponto está fora do intervalo
. Logo não há nenhum extremo interno, e o máximo de
só pode ocorrer em
ou
.
Passo 6
Calculamos os valores em cada extremidade:
E como
, o maior valor de
é
, em
.
Resposta
O ponto da elipse mais longe de
é
.