Provar que o ponto (-a, 0) é o ponto da elipse x^2a^2+y^2b^2=1, a>b, mais longe do foco F=(c, 0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na elipse
x^2a^2 + y^2b^2 = 1, a > b,
o ponto que fica mais longe do foco F=(c,0), com c=raiza^2-b^2, é (-a,0).
Conteúdo: otimização com restrição (ou simplesmente estudar uma função de uma variável no intervalo fechado [-a,a]).

Passo 2

Chamemos
D(x,y) = dist^2l((x,y), (c,0)r) = (x - c)^2 + y^2
Como maximizar D ou maximizar raizD dá o mesmo ponto, trataremos D.

Passo 3

Da equação da elipse temos
y^2 = b^2l(1 - x^2a^2r),
logo em todo ponto da elipse D vale
D(x) = (x - c)^2 + b^2l(1 - x^2a^2r),
para xin[-a,a].

Passo 4

Vamos estudar D(x) como função de x em [-a,a]. Primeiro derivamos:
D'(x) = 2(x - c) ;-; 2,b^2,xa^2
Colocando em evidência 2 e reorganizando,
D'(x) = 2!l[(x-c) - b^2a^2,xr] = 2!l[xl(1 - tfracb^2a^2r) - cr]
Como 1 - tfracb^2a^2 = tfraca^2-b^2a^2 = tfracc^2a^2, temos
D'(x) = 2!l[x,c^2a^2 - cr] = 2ca^2,(x,c - a^2)

Passo 5

A condição D'(x)=0
x,c - a^2 = 0 Longrightarrow x = a^2c
Mas como c=raiza^2-b^2<a, segue tfraca^2c>a. Esse ponto está fora do intervalo [-a,a]. Logo não há nenhum extremo interno, e o máximo de D(x) só pode ocorrer em x=-a ou x=+a.

Passo 6

Calculamos os valores em cada extremidade:
D(a) = (a - c)^2 + b^2l(1 - tfraca^2a^2r) = (a - c)^2 + 0 = (a - c)^2,
D(-a) = (-a - c)^2 + b^2l(1 - tfrac(-a)^2a^2r) = (a + c)^2 + 0 = (a + c)^2
E como (a + c)^2 > (a - c)^2, o maior valor de D é (a+c)^2, em x=-a.

Resposta

O ponto da elipse mais longe de F=(c,0) é (-a,0).

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