Determine as equações paramétricas, o centro e o raio da circunferência que passa pelos pontos R=(3,1,-5), S=(3,3,-4), T=(1,3,-3).

Passo 1

O enunciado pede a circunferência em R^3 que passa pelos pontos
;R=(3,1,-5),;S=(3,3,-4),;T=(1,3,-3).
Conteúdo: geometria analítica em espaço — achar o plano que contém os três pontos, depois determinar o centro como interseção das mediatrizes dos segmentos RS e ST, o raio como distância do centro a qualquer ponto, e por fim as equações paramétricas da circunferência.

Passo 2

Encontramos um vetor normal ao plano contendo R,S,T.
Defina
u=S-R=(0,2,1), v=T-R=(-2,4,2)
Então o normal é
n=utimesv =021 times -242 =0cdot2-1cdot4-(0cdot2-1cdot(-2))0cdot4-2cdot(-2) =0-24 sim0-12
O plano P então passa por R=(3,1,-5) e satisfaz
0,(x-3)-1,(y-1)+2,(z+5)=0 ;Longrightarrow; -y+1+2z+10=0 ;Longrightarrow; y-2z-11=0

Passo 3

A mediatriz do segmento RS é a interseção do plano perpendicular a u em seu ponto médio
;MRS=l(3,2,-4,5r)
com o plano P. O plano mediatriz de RS é
ucdotl((x,y,z)-MRSr)=0 ;Longrightarrow; 2(y-2)+(z+4,5)=0 ;Longrightarrow; 2y+z+0,5=0
Resolva junto com y-2z-11=0:
2y+z+0,5=0, y-2z-11=0
Dessa interseção obtemos a reta
ell1: y=2, z=-4,5, x livre

Passo 4

Analogamente a mediatriz de ST: ponto médio
;MST=(2,3,-3,5) e vetor w=T-S=(-2,0,1). O plano mediatriz é
wcdotl((x,y,z)-MSTr)=0 ;Longrightarrow; -2(x-2)+(z+3,5)=0 ;Longrightarrow; z=2x-7,5
Interseção com y-2z-11=0
y=2z+11=2(2x-7,5)+11=4x-4,
logo a reta
ell2: x=t, y=4t-4, z=2t-7,5

Passo 5

O centro C é ell1capell2. Em ell1 temos y=2, z=-4,5; na ell2 impomos y=2:
4t-4=2;Longrightarrow;t=1,5,
e então x=1,5, z=2(1,5)-7,5=-4,5.
Portanto
C=l(1,5,;2,;-4,5r)

Passo 6

O raio é a distância de C a R:
r=|R-C| =l|,(3,1,-5)-(1,5,2,-4,5)r| =|, (1,5,-1,-0,5)| =raiz1,5^2+(-1)^2+(-0,5)^2 =raiz3,5

Passo 7

Para as equações paramétricas escolhemos dois vetores perpendiculares no plano:
a=R-C=l(1,5,-1,-0,5r), b=ntimesa =0-12 times 1,5-1-0,5 =l(-2,5,-3,-1,5r)
Então a parametrização natural é
r(theta) =C+1raiz3,5a,raiz3,5costheta +1raiz5b,raiz3,5sintheta,
mas, de modo mais direto, podemos escrever
boxed r(theta) =1,52-4,5 +1,5-1-0,5costheta +1raiz5-2,5-3-1,5sintheta, thetain[0,2pi)

Resposta

Centro: ,C=(1,5,2,-4,5).
Raio: ,r=raiz3,5
Equações paramétricas:
r(theta) =1,52-4,5 +1,5-1-0,5costheta +1raiz5-2,5-3-1,5sintheta

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