Sejam A=1,2,4,5,8,10,16,20,40,80, B=4,5,10 e a ordem de divisibilidade. Determine os limites superiores, inferiores, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo.
O ladrão não vem senão a roubar, a matar, e a destruir; eu vim para que tenham vida, e a tenham com abundância. Eu sou o bom Pastor; o bom Pastor dá a sua vida pelas ovelhas. João 10,10-11.

Passo 1

O enunciado define o poset (A,mid) com
A = 1,2,4,5,8,10,16,20,40,80
e o subconjunto
B = 4,5,10
Queremos achar:
– os limites inferiores de B,
– os limites superiores de B,
– o ínfimo inf B,
– o supremo sup B,
– o mínimo de B e
– o máximo de B.

Passo 2

Para achar os limites inferiores de B buscamos todos os ain A tais que amid b para todo bin B. Precisamos que
amid 4, amid 5, amid 10
Listando divisores em A:
– divisores de 4 em A: 1,2,4,
– divisores de 5 em A: 1,5,
– divisores de 10 em A: 1,2,5,10.
A interseção é 1.

Passo 3

Para achar os limites superiores de B buscamos todos os ain A tais que bmid a para todo bin B. Precisamos que
4mid a, 5mid a, 10mid a
O mínimo múltiplo comum de 4,5,10 é
lcm(4,5,10)=20,
e os múltiplos de 20 em A são 20,40,80.

Passo 4

O ínfimo inf B é o maior dos limites inferiores, isto é, o maior elemento de 1, logo
inf B = 1

Passo 5

O supremo sup B é o menor dos limites superiores, isto é, o menor elemento de 20,40,80, logo
sup B = 20

Passo 6

O mínimo de B seria o ínfimo se ele pertencesse a B. Como 1notin B, não há mínimo.
O máximo de B seria o supremo se ele pertencesse a B. Como 20notin B, não há máximo.

Resposta

Limites inferiores de B: 1
Limites superiores de B: 20,40,80
inf B = 1
sup B = 20
Mínimo de B: não existe
Máximo de B: não existe

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