Sejam
e a ordem de divisibilidade. Determine os limites superiores, inferiores, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo.
O ladrão não vem senão a roubar, a matar, e a destruir; eu vim para que tenham vida, e a tenham com abundância. Eu sou o bom Pastor; o bom Pastor dá a sua vida pelas ovelhas. João 10,10-11.
Passo 1
O enunciado define o poset
com
e o subconjunto
Queremos achar:
– os limites inferiores de ,
– os limites superiores de ,
– o ínfimo ,
– o supremo ,
– o mínimo de e
– o máximo de .
– os limites inferiores de
– os limites superiores de
– o ínfimo
– o supremo
– o mínimo de
– o máximo de
Passo 2
Para achar os limites inferiores de
buscamos todos os
tais que
para todo
. Precisamos que
Listando divisores em
:
– divisores de em
:
,
– divisores de em
:
,
– divisores de em
:
.
A interseção é .
– divisores de
– divisores de
– divisores de
A interseção é
Passo 3
Para achar os limites superiores de
buscamos todos os
tais que
para todo
. Precisamos que
O mínimo múltiplo comum de
é
e os múltiplos de
em
são
.
Passo 4
O ínfimo
é o maior dos limites inferiores, isto é, o maior elemento de
, logo
Passo 5
O supremo
é o menor dos limites superiores, isto é, o menor elemento de
, logo
Passo 6
O mínimo de
seria o ínfimo se ele pertencesse a
. Como
, não há mínimo.
O máximo de seria o supremo se ele pertencesse a
. Como
, não há máximo.
O máximo de
Resposta
Limites inferiores de
:
Limites superiores de :
Mínimo de : não existe
Máximo de : não existe
Limites superiores de
Mínimo de
Máximo de