Nas questões 1), 2), 3) e 4), abaixo, \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{k} e^{i k x} é a série de Fourier de uma função 2 \pi-periódica (e complexa) f=f(x)(-\pi \leq x \leq \pi).
Se \tilde{c_{k}} \in \mathbb{C}(k=0, \pm 1) são tais que
\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(t)-\sum_{\{k\} \leq 1} \tilde{c_{k}} e i k t\right|^{2} d t=\int_{-\pi}^{\pi}\left|f(t)-\sum_{\{k\} \leq 1} c_{k} e i k t\right|^{2} d t
então \tilde{c_{k}}=c_{k}(k=0, \pm 1).
( ) V ( ) F

Passo 1

O enunciado fala de uma função 2\pi-periódica f com série de Fourier
f(x)\sim\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_{k}e^{ikx},
e diz que, se \tilde c_{k} ( k=0,\pm1) também minimizam o erro quadrático
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl|f(t)-\sum_{|k|\le1}\tilde c_{k}e^{ikt}\bigr|^{2}dt = \int_{-\pi}^{\pi}\bigl|f(t)-\sum_{|k|\le1}c_{k}e^{ikt}\bigr|^{2}dt,
então devemos mostrar que \tilde c_{k}=c_{k}. O conteúdo é projeção ortogonal em L^{2}([-\pi,\pi]).

Passo 2

Definimos o subespaço E=\mathrm{span}\{e^{-i x},\,e^{0\cdot i x},\,e^{i x}\}. Para qualquer escolha de coeficientes \{d_{k}\}_{|k|\le1}, o erro quadrático
\bigl\|f - \sum_{|k|\le1}d_{k}e^{ikx}\bigr\|_{2}^{2}
é minimizado exatamente quando \sum_{|k|\le1}d_{k}e^{ikx} é a projeção ortogonal de f em E.

Passo 3

Na projeção ortogonal vale a condição de que o erro fica ortogonal a cada gerador de E. Se chamarmos
P(x)=\sum_{|k|\le1}c_{k}e^{ikx}, \quad \widetilde P(x)=\sum_{|k|\le1}\tilde c_{k}e^{ikx},
então f-P e f-\widetilde P são ambos ortogonais a e^{imx} para m=-1,0,1. Ou seja, para cada m:
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(t)-P(t)\bigr)\overline{e^{imt}}\,dt=0, \quad \int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f(t)-\widetilde P(t)\bigr)\overline{e^{imt}}\,dt=0.

Passo 4

Subtraindo essas duas igualdades obtemos
\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(\widetilde P(t)-P(t)\bigr)\overline{e^{imt}}\,dt=0, \quad m=-1,0,1.
Mas \widetilde P-P=\sum_{|k|\le1}(\tilde c_{k}-c_{k})e^{ik t}, e como \{e^{ikx}\} é sistema ortonormal em L^{2}([-\pi,\pi]), cada coeficiente \tilde c_{k}-c_{k} deve ser zero. Logo \tilde c_{k}=c_{k} para k=0,\pm1.

Resposta

Verdadeiro.

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