Nas questões 1), 2), 3) e 4), abaixo, \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{k} e^{i k x} é a série de Fourier de uma função 2 \pi-periódica (e complexa) f=f(x)(-\pi \leq x \leq \pi).
Se c_{1}=i então c_{-1}=-i.
( ) V ( ) F

Passo 1

O enunciado diz que
\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_{k} e^{i k x}
é a série de Fourier de uma função 2\pi-periódica e complexa f(x) no intervalo -\pi\le x\le\pi. Perguntam se, dado c_{1}=i, necessariamente segue que c_{-1}=-i. Vamos usar propriedades gerais de séries de Fourier para ver quando existe tal relação de simetria entre coeficientes.

Passo 2

Para uma função real-valued, sabemos que os coeficientes satisfazem a condição de simetria hermitiana
c_{-k}=\overline{c_{k}}.
Nesse caso, se c_{1}=i, então
c_{-1}=\overline{i}=-\,i.
Porém, se f é complexa, não há nenhuma obrigatoriedade de simetria entre c_{k} e c_{-k}; os coeficientes c_k podem ser quaisquer números complexos sem essa restrição.

Passo 3

Como o enunciado afirma apenas que f é complexa (e não real), não podemos concluir que
c_{-1}=\overline{c_{1}}.
Logo a afirmação “se c_{1}=i então c_{-1}=-inão é válida em geral.

Resposta

F

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