Resolva as equações:
y^prime=(3 x^2-1) /(3+2 y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = 3x^2 - 13 + 2y
Este tipo de EDO é separável, ou seja, podemos escrever dy/dx como uma expressão de x multiplicada por uma expressão de y e, em seguida, separar as variáveis.

Passo 2

Reescrevendo a derivada e separando os termos envolvendo y e x, temos
dydx = 3x^2 - 13 + 2y Longrightarrow (3 + 2y),dy = (3x^2 - 1),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral (3 + 2y),dy = integral (3x^2 - 1),dx
No lado esquerdo, usamos integral 3,dy = 3y e integral 2y,dy = y^2. No lado direito, integral 3x^2,dx = x^3 e integral (-1),dx = -x. Introduzimos uma constante de integração C.

Passo 4

Somando os resultados, obtemos a solução implícita
3y + y^2 = x^3 - x + C Longrightarrow y^2 + 3y - x^3 + x = C

Passo 5

Para escrever y de forma explícita, tratamos isso como uma equação quadrática em y:
y^2 + 3y - l(x^3 - x + Cr) = 0
e aplicamos a fórmula de Bhaskara, chegando a
y = -3 pm raiz9 + 4l(x^3 - x + Cr)2

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
y^2 + 3y - x^3 + x = C,
ou explicitamente por
y = -3 pm raiz9 + 4,(x^3 - x + C)2,
onde C é a constante de integração.

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