Determinar a equação do plano tangente à superfície S descrita pela equação
r(u, v)=(u cos v, u senv,-2 u^2), no ponto P(1,1-4).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície S descrita pela função vetorial r(u, v) = (u cos v,, u sin v,, -2u^2) no ponto P(1, 1, -4) .
Matéria envolvida: Cálculo Multivariável, especificamente geometria de superfícies e planos tangentes.
O que vamos precisar: Saber calcular derivadas parciais para encontrar vetores tangentes, usar o produto vetorial para achar o vetor normal, e então montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores de [u) e que correspondem ao ponto . A função vetorial relaciona com as coordenadas :
Sabendo que , temos:
Da terceira equação:
Agora, substituindo (u = \sqrt{2}] nas duas primeiras equações:
Isso nos indica que .

Passo 3

Com u = raiz2 e v = pi4 , vamos calcular os vetores tangentes à superfície S nesse ponto. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função vetorial r(u, v) em relação a u e a v .
Primeira derivada parcial em relação a u :
ru = ( partial xpartial u,, partial ypartial u,, partial zpartial u ) = ( cos v,, sin v,, -4u )
Segunda derivada parcial em relação a v :
rv = ( partial xpartial v,, partial ypartial v,, partial zpartial v ) = ( -u sin v,, u cos v,, 0 )

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (u, v) = (raiz2, pi4) :
ru = ( cos pi4,, sin pi4,, -4raiz2 ) = ( raiz22,, raiz22,, -4raiz2 )
rv = ( -raiz2 sin pi4,, raiz2 cos pi4,, 0 ) = ( -1,, 1,, 0 )

Passo 5

Agora, encontramos o vetor normal ao plano tangente calculando o produto vetorial dos vetores tangentes ru e rv:
n = ru times rv
Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k raiz22 & raiz22 & -4raiz2 -1 & 1 & 0 = i ( raiz22 cdot 0 - (-4raiz2) cdot 1 ) - j ( raiz22 cdot 0 - (-4raiz2) cdot (-1) ) + k ( raiz22 cdot 1 - raiz22 cdot (-1) )
Simplificando:
n = 4raiz2, i + 4raiz2, j + raiz2, k

Passo 6

Com o vetor normal n = (4raiz2,, 4raiz2,, raiz2) e o ponto P(1, 1, -4) , podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo A = 4raiz2 , B = 4raiz2 , C = raiz2 e (x0, y0, z0) = (1, 1, -4) :
4raiz2(x - 1) + 4raiz2(y - 1) + raiz2(z + 4) = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por raiz2 :
4(x - 1) + 4(y - 1) + (z + 4) = 0 implies 4x - 4 + 4y - 4 + z + 4 = 0 implies 4x + 4y + z - 4 = 0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície S no ponto P(1, 1, -4) é:
4x + 4y + z - 4 = 0

Exercícios relacionados