Determine o comprimento da curva.
y=ln (sen x), pi / 6 <= x <= pi / 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y = ln(sen x),
no intervalo pi/6 <= x <= pi/3.
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco de uma curva y=f(x):
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Calcular a derivada de y:
y' = ddxln(sen x) = 1sen xcdotcos x = cot x

Passo 3

Substituir na fórmula de comprimento:
L = integralpi/6^pi/3 raiz1 + cot^2 x,dx
Como 1 + cot^2 x = csc^2 x, temos
raiz1 + cot^2 x = csc x,
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L = integralpi/6^pi/3 csc x,dx

Passo 4

Recordando a antiderivada
integral csc x,dx = -lnl(csc x + cot xr) + C,
obtemos
L = l[-lnl(csc x + cot xr)r]pi/6^pi/3

Passo 5

Avaliar nos limites:
cscl(pi/3r)=2raiz3, cotl(pi/3r)=1raiz3 Longrightarrow cscl(pi/3r)+cotl(pi/3r)=raiz3,
cscl(pi/6r)=2, cotl(pi/6r)=raiz3 Longrightarrow cscl(pi/6r)+cotl(pi/6r)=2+raiz3
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L = -ln(raiz3) + ln(2+raiz3) = ln!l(tfrac2+raiz3raiz3r)

Resposta

ln!l(2+raiz3raiz3r)

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