^a Questão.( 3,5 pts ) Calcule o limite, se existir.
lim x 9 3-raizx9 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função quando x se aproxima de 9. A função é:
limx 9 3 - raizx9x - x^2
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo para entender o comportamento de funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar verificar se conseguimos simplificar a expressão para evitar formas indeterminadas, como 00 .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 9 diretamente na função para ver o que acontece:
3 - raiz99 times 9 - 9^2 = 3 - 381 - 81 = 00
Aí está, temos uma forma indeterminada 00 . Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como 00 , uma técnica útil é racionalizar o numerador. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é 3 + raizx :
3 - raizx9x - x^2 times 3 + raizx3 + raizx = (3 - raizx)(3 + raizx)(9x - x^2)(3 + raizx)
Simplificando o numerador usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 :
9 - x(9x - x^2)(3 + raizx)

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador. Podemos fatorar 9x - x^2 :
9x - x^2 = x(9 - x)
Substituindo de volta na expressão:
9 - xx(9 - x)(3 + raizx)
Perceba que 9 - x = -(x - 9) , então podemos reescrever:
-(x - 9)x(- (x - 9))(3 + raizx) = -1x(3 + raizx)

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = 9 :
limx 9 -1x(3 + raizx) = -19(3 + 3) = -19 times 6 = -154

Resposta

limx 9 3 - raizx9x - x^2 = -154

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