Encontre o comprimento de arco da curva do ponto A ao ponto B.
y^2=(x-1)^3 ; A(1,0), B(2,1)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
y^2=(x-1)^3
do ponto A(1,0) ao ponto B(2,1).
O conteúdo é “comprimento de arco de uma função y(x)” e vamos usar a fórmula
L=integralx0^x1raiz1+l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Para x entre 1 e 2 escolhemos o ramo positivo
y=(x-1)^3/2
Derivando,
dydx=32(x-1)^1/2

Passo 3

Substituindo em
L=integral1^2raiz1+l(32(x-1)^1/2r)^2;dx
temos
1+94(x-1)=9x-54,
logo
L=integral1^212raiz9x-5;dx

Passo 4

Fazemos a substituição
u=9x-5, du=9,dx,
quando x=1 temos u=4 e quando x=2 temos u=13. Então
L=12integral4^13raizu9;du =118integral4^13u^1/2;du

Passo 5

Integral de u^1/2 é tfrac23u^3/2, portanto
L =118cdot23l[u^3/2r]4^13 =127l(13^3/2-4^3/2r) =13raiz13-827

Resposta

13raiz13-827

Exercícios relacionados