Determinar a equação reduzida da elipse sabendo que dois vértices são (7,2) e (1,2) e seu eixo menor mede 2.

Passo 1

O enunciado dá dois vértices (7,2) e (1,2) de uma elipse e informa que o eixo menor mede 2. O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos usar a forma reduzida da elipse e os dados de vértices e eixo menor para determinar o centro (h,k), o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b.

Passo 2

Para uma elipse, o centro (h,k) é o ponto médio entre os vértices principais. Assim,
h = 7 + 12 = 4, k = 2 + 22 = 2

Passo 3

O semi-eixo maior a é a metade da distância entre os vértices. A distância entre (7,2) e (1,2) é
|7 - 1| = 6,
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a = 62 = 3

Passo 4

O semi-eixo menor b é a metade do comprimento do eixo menor. Como o eixo menor mede 2,
b = 22 = 1

Passo 5

A forma reduzida da elipse com centro em (h,k) e semi-eixos a e b é
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo h=4, k=2, a=3 e b=1, obtemos
(x-4)^29 + (y-2)^21 = 1

Resposta

(x-4)^29 + (y-2)^2 = 1

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