Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação abaixo, fazendo os seguintes passos:
Escreva a equação matricial
Encontre os autovalores e autovetores da matriz que representa os termos quadráticos e mistos.
Escreva a equação matricial da equação da quádrica eliminando os termos mistos.
Obtenha base ortonormal para mudança de coordenadas que consiste na rotação do sistema de referência.
Reescreva a equação matricial forma algébrica.
6)Faça a mudança de coordenadas necessária para obter a equação reduzida da quádrica
Escreva a equação reduzida da quádrica. Justifique sua resposta mostrando todas os cálculos.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricas em
e pede a forma reduzida e o tipo de quádricas. Vamos usar diagonalização ortogonal da forma quadrática para eliminar os termos mistos e, a partir daí, obter a equação na forma principal.
Passo 2
Escrevemos a parte quadrática em forma matricial. Seja . A equação fica
onde
Passo 3
Calculamos os autovalores de
Logo os autovalores são
Para cada achamos um autovetor:
: resolve-se
dando, por exemplo, (\mathbf{v}_{1}=(-1,-2,1)^{T}].
: leva a e , logo .
: leva a , , logo .
Passo 4
Normalizamos esses autovetores para obter uma base ortonormal u1,u2,u3: