Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação abaixo, fazendo os seguintes passos:
  1. Escreva a equação matricial
  2. Encontre os autovalores e autovetores da matriz que representa os termos quadráticos e mistos.
  3. Escreva a equação matricial da equação da quádrica eliminando os termos mistos.
  4. Obtenha base ortonormal para mudança de coordenadas que consiste na rotação do sistema de referência.
  5. Reescreva a equação matricial forma algébrica.
    6)Faça a mudança de coordenadas necessária para obter a equação reduzida da quádrica
  6. Escreva a equação reduzida da quádrica. Justifique sua resposta mostrando todas os cálculos.
x^2+y^2+5 z^2+2 x z+4 y z-4=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas em R^3
x^2+y^2+5z^2+2xz+4yz-4=0
e pede a forma reduzida e o tipo de quádricas. Vamos usar diagonalização ortogonal da forma quadrática para eliminar os termos mistos e, a partir daí, obter a equação na forma principal.

Passo 2

Escrevemos a parte quadrática em forma matricial. Seja x=(x,y,z)^T. A equação fica
x^TA,x-4=0,
onde
A= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 2 1 & 2 & 5

Passo 3

Calculamos os autovalores de
Logo os autovalores são
Para cada achamos um autovetor:
: resolve-se
dando, por exemplo, (\mathbf{v}_{1}=(-1,-2,1)^{T}].
: leva a e , logo .
: leva a , , logo .

Passo 4

Normalizamos esses autovetores para obter uma base ortonormal u1,u2,u3:
u1=1raiz6(-1,-2,1), u2=1raiz5(-2,1,0), u3=1raiz30(1,2,5)
Formamos a matriz ortogonal P=[,u1 u2 u3,]. Como P^TAP=diag(0,1,6), na mudança de variável x=Pu a forma quadrática diagonaliza.

Passo 5

Em coordenadas u=(u1,u2,u3)^T a equação fica
u^T0&0&00&1&00&0&6u-4=0 Longrightarrow 0cdot u1^2+1cdot u2^2+6cdot u3^2-4=0

Passo 6

Isolando os termos não nulos,
u2^2+6,u3^2=4
Esta é a forma algébrica principal antes de normalizar para 1 no lado direito.

Passo 7

Dividindo por 4 e escrevendo como soma de quadrados iguais a 1, obtemos
u2^24+u3^2tfrac46=1 Long<=ftrightarrow u2^24+u3^2tfrac23=1
Como não aparece u1, trata-se de um cilindro elíptico com eixo paralelo à direção do autovetor associado a lambda1=0.

Resposta

u2^24+u3^2tfrac23=1,
que representa um cilindro elíptico.

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