Mostre que os vetores formam uma base e escreva o vetor em termos dela.
(a)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que os vetores
u1=(1,1,1), u2=(1,1,2), u3=(1,2,3)
formam uma base de R^3 e, em seguida, escrever o vetor
x=(6,9,4)
como combinação linear de u1,u2,u3. Vamos usar o critério do determinante para independência linear e depois resolver o sistema para os coeficientes da combinação.

Passo 2

Para testar independência, montamos a matriz cujas colunas são u1,u2,u3 e calculamos seu determinante:
det 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 1 & 2 & 3 =1cdot(1cdot3-2cdot2)-1cdot(1cdot3-2cdot1)+1cdot(1cdot2-1cdot1) =-1neq0
Como o determinante é não-nulo, os vetores são linearmente independentes em R^3 e, portanto, formam uma base.

Passo 3

Escrevemos x como combinação linear:
x = a,u1 + b,u2 + c,u3
Isso gera o sistema
a + b + c = 6, a + b + 2c = 9, a + 2b + 3c = 4

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda fica c=3. Então da primeira a+b=6-3=3. Substituindo em a+2b+3c=4
a + 2b + 9 = 4Longrightarrow a+2b=-5
Subtraindo a+b=3 de a+2b=-5 obtém-se b=-8 e, em seguida, a=3-(-8)=11.

Resposta

Os vetores u1,u2,u3 formam uma base de R^3 e
x = 11,u1 ;-;8,u2;+;3,u3

Exercícios relacionados