Mostre que os vetores formam uma base e escreva o vetor em termos dela.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que os vetores
formam uma base de e, em seguida, escrever o vetor
como combinação linear de . Vamos usar o critério do determinante para independência linear e depois resolver o sistema para os coeficientes da combinação.
Passo 2
Para testar independência, montamos a matriz cujas colunas são e calculamos seu determinante:
Como o determinante é não-nulo, os vetores são linearmente independentes em R^3 e, portanto, formam uma base.
Passo 3
Escrevemos x como combinação linear:
x = a,u1 + b,u2 + c,u3
Isso gera o sistema
a + b + c = 6, a + b + 2c = 9, a + 2b + 3c = 4
Passo 4
Subtraindo a primeira equação da segunda fica c=3. Então da primeira a+b=6-3=3. Substituindo em a+2b+3c=4 dá
a + 2b + 9 = 4Longrightarrow a+2b=-5
Subtraindo a+b=3 de a+2b=-5 obtém-se b=-8 e, em seguida, a=3-(-8)=11.