Verifique se cada uma das afirmações a seguir é correta ou incorreta, apresentando a justificativa para sua conclusão.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado um espaço vetorial qualquer e vetores
nele, a igualdade
implica sempre
O conteúdo é a propriedade de cancelamento da multiplicação escalar em espaços vetoriais, que só vale quando o escalar é invertível (não nulo).
Passo 2
Considere o caso
. Nesse caso existe o inverso
no corpo de escalares. Multiplicando ambos os lados de
por
, obtemos
Logo, quando
, a implicação vale.
Passo 3
Considere agora o caso
. Então
de modo que
é sempre verdade, sem qualquer relação entre
e
. Por exemplo,
mas
Passo 4
A igualdade
leva a
somente se
. Como o enunciado não exige
, a afirmação é falsa no caso geral.
Resposta
A afirmação é incorreta.