Verifique se cada uma das afirmações a seguir é correta ou incorreta, apresentando a justificativa para sua conclusão.
Se alpha v=alpha u, então v=u.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um espaço vetorial qualquer e vetores v,u nele, a igualdade
alpha,v ;=;alpha,u
implica sempre
v = u
O conteúdo é a propriedade de cancelamento da multiplicação escalar em espaços vetoriais, que só vale quando o escalar é invertível (não nulo).

Passo 2

Considere o caso alpha neq 0. Nesse caso existe o inverso alpha^-1 no corpo de escalares. Multiplicando ambos os lados de
alpha,v = alpha,u
por alpha^-1, obtemos
alpha^-1(alpha,v) = alpha^-1(alpha,u) ;Longrightarrow; (alpha^-1alpha),v = (alpha^-1alpha),u ;Longrightarrow; v = u
Logo, quando alphaneq 0, a implicação vale.

Passo 3

Considere agora o caso alpha = 0. Então
alpha,v = 0cdotv = 0 e alpha,u = 0cdotu = 0,
de modo que 0cdotv=0cdotu é sempre verdade, sem qualquer relação entre v e u. Por exemplo, vnequ mas
0cdotv = 0 = 0cdotu

Passo 4

A igualdade alpha,v = alpha,u leva a v=u somente se alphaneq 0. Como o enunciado não exige alphaneq 0, a afirmação é falsa no caso geral.

Resposta

A afirmação é incorreta.

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