Determinar a equação reduzida e o gênero da quádrica representada pela equação abaixo. Faça um esboço do gráfico.
x^2+y^2+5 z^2+2 x z+4 y z-4=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quadric definida por
x^2+y^2+5z^2+2xz+4yz-4=0
Queremos achar a forma reduzida (canônica) e classificar o gênero da quadric, além de esboçar seu gráfico. Vamos usar completar quadrados e mudança de variáveis lineares.

Passo 2

Agrupamos termos em x,z e em y,z:
x^2+2xz+5z^2=(x+z)^2+4z^2,
y^2+4yz=(y+2z)^2-4z^2
Substituindo na equação original:
(x+z)^2+4z^2+(y+2z)^2-4z^2-4=0
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(x+z)^2+(y+2z)^2=4

Passo 3

Definindo
u=x+z, v=y+2z, w=z,
a equação reduzida fica
u^2+v^2=4,
sem depender de w. Isso mostra que a superfície é um cilindro cujas seções em planos w=constante são círculos de raio 2.

Passo 4

Para achar a direção do eixo, buscamos o vetor (De<a x,De<a y,De<a z) que mantém u e v constantes:
De<a u=De<a x+De<a z=0, De<a v=De<a y+2De<a z=0
daí (De<a x,De<a y,De<a z)=(-1,-2,1). Esse é o vetor diretor do eixo do cilindro.

Passo 5

Esboço: em um sistema de eixos (x,y,z), o cilindro é oblíquo, com eixo paralelo a (-1,-2,1) e raio 2. As seções transversais (planos ortogonais ao eixo) são círculos de raio 2.

Resposta

Equação reduzida:
(x+z)^2+(y+2z)^2=4
Gênero: cilindro circular (cilindro oblíquo) de raio 2, com eixo paralelo a (-1,-2,1).

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