Determinar a equação reduzida e o gênero da quádrica representada pela equação abaixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quadric definida por
Queremos achar a forma reduzida (canônica) e classificar o gênero da quadric, além de esboçar seu gráfico. Vamos usar completar quadrados e mudança de variáveis lineares.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
:
Substituindo na equação original:
logo
Passo 3
Definindo
a equação reduzida fica
sem depender de
. Isso mostra que a superfície é um cilindro cujas seções em planos
são círculos de raio
.
Passo 4
Para achar a direção do eixo, buscamos o vetor
que mantém
e
constantes:
daí
. Esse é o vetor diretor do eixo do cilindro.
Passo 5
Esboço: em um sistema de eixos
, o cilindro é oblíquo, com eixo paralelo a
e raio
. As seções transversais (planos ortogonais ao eixo) são círculos de raio
.
Resposta
Equação reduzida:
Gênero: cilindro circular (cilindro oblíquo) de raio
, com eixo paralelo a
.