Para exprimir como combinação linear de três funções do tipo
a funçã̃o racional descrita adiante, tome como módulo de congruência o produto
e use o teorema chinês do resto, para fatorar no corpo
dos números racionais o denominador
, sabendo que uma das raizes desse polinômio q se descreve pelo sistema de congruências
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede para expressá-la como combinação linear de três frações parciais do tipo
. Para isso precisamos fatorar o denominador
em
, usando o Teorema Chinês do Resto para encontrar uma raiz inteira de
.
Passo 2
O enunciado informa que uma raiz de
satisfaz o sistema
Para resolver pelo CRT, escrevemos
e impomos
Como
, segue
logo
e
Portanto,
é raiz de
.
Passo 3
Fatoramos
pelo teorema da divisão sintética (ou divisão polinomial) usando a raiz
. A divisão de
por
dá como quociente
e resto zero. Como o discriminante desse quadrático é
seguimos que o fator quadrático é
. Logo
Passo 4
Escrevemos a decomposição em frações parciais compatível com fator repetido:
Multiplicando pelos fatores do denominador, obtemos a identidade polinomial
Passo 5
Expandindo o lado direito e comparando coeficientes obtemos o sistema
Resolvendo, achamos