Para exprimir como combinação linear de três funções do tipo 1 /(x-beta) a funçã̃o racional descrita adiante, tome como módulo de congruência o produto 11 times 17=187 e use o teorema chinês do resto, para fatorar no corpo Q dos números racionais o denominador q(x), sabendo que uma das raizes desse polinômio q se descreve pelo sistema de congruências x equiv 7 bmod 11, x equiv 12 bmod 17.
p(x) / q(x)=(26 x^2-1395 x+19201) /(x^3-75 x^2+1863 x-15341)

Passo 1

O enunciado dá a função racional
p(x)q(x) =26x^2-1395x+19201x^3-75x^2+1863x-15341
e pede para expressá-la como combinação linear de três frações parciais do tipo 1/(x-beta). Para isso precisamos fatorar o denominador q(x) em Q[x], usando o Teorema Chinês do Resto para encontrar uma raiz inteira de q(x).

Passo 2

O enunciado informa que uma raiz de q(x) satisfaz o sistema
xequiv7pmod11, xequiv12pmod17
Para resolver pelo CRT, escrevemos x=7+11k e impomos
7+11kequiv12pmod17 Longrightarrow 11kequiv5pmod17
Como 11^-1equiv14pmod17, segue
kequiv14cdot5=70equiv2pmod17,
logo k=2 e
x=7+11cdot2=29
Portanto, x=29 é raiz de q(x).

Passo 3

Fatoramos q(x) pelo teorema da divisão sintética (ou divisão polinomial) usando a raiz 29. A divisão de
x^3-75x^2+1863x-15341
por (x-29) dá como quociente
x^2-46x+529
e resto zero. Como o discriminante desse quadrático é
(-46)^2-4cdot1cdot529=2116-2116=0,
seguimos que o fator quadrático é (x-23)^2. Logo
q(x)=(x-29)(x-23)^2

Passo 4

Escrevemos a decomposição em frações parciais compatível com fator repetido:
p(x)(x-29)(x-23)^2 =Ax-29+Bx-23+C(x-23)^2
Multiplicando pelos fatores do denominador, obtemos a identidade polinomial
26x^2-1395x+19201 =A(x-23)^2+B(x-29)(x-23)+C(x-29)

Passo 5

Expandindo o lado direito e comparando coeficientes obtemos o sistema
A+B=26, -46A-52B+C=-1395, 529A+667B-29C=19201
Resolvendo, achamos
A=17, B=9, C=-145

Resposta

boxed 26x^2-1395x+19201x^3-75x^2+1863x-15341 =17x-29 +9x-23 -145(x-23)^2

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