Mostre que os vetores formam uma base e escreva o vetor em termos dela.
(b)

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
u1=(2,1,-3), u2=(3,2,-5), u3=(1,-1,1)
e pede (i) mostrar que eles formam uma base e (ii) escrever
x=(6,2,-7)
como combinação linear desses ui. O conteúdo aqui é espaço vetorial, independência linear (ou determinante não nulo) e mudança de base.

Passo 2

Para ver que u1,u2,u3 é base de R^3, basta mostrar que são linearmente independentes, por exemplo calculando o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas:
det 2 & 3 & 1 1 & 2 & -1 -3 & -5 & 1 =2l(2cdot1-(-1)cdot(-5)r)-3l(1cdot1-(-1)cdot(-3)r)+1l(1cdot(-5)-2cdot(-3)r)
Calculando cada termo:
2,(2-5)-3,(1-3)+1,(-5+6)=2cdot(-3)-3cdot(-2)+1cdot1=-6+6+1=1neq0
Como o determinante é não nulo, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base de R^3.

Passo 3

Como u1,u2,u3 é uma base, podemos escrever
x = a,u1+b,u2+c,u3
de modo único. Isso leva ao sistema
2a + 3b + c = 6, a + 2b - c = 2, -3a -5b + c = -7

Passo 4

Do segundo equação isolamos c:
c = a + 2b - 2
Substituindo em (i) e (iii) obtemos dois sistemas em a,b:
3a + 5b = 8, 2a + 3b = 5
Eliminando, por exemplo, multiplicamos a segunda por 3 e a primeira por 2 e subtraímos, chegamos a
b = 1, a = 1
Então
c = a + 2b - 2 = 1 + 2cdot1 - 2 = 1

Passo 5

Portanto os coeficientes são a=b=c=1 e
x = 1cdot u1 + 1cdot u2 + 1cdot u3

Resposta

x = u1 + u2 + u3

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