Determinar a equação reduzida da hipérbole, cujo eixo real tem por extremos os focos da elipse 16 x^2+25 y^2=625 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da elipse dada.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
16x^2+25y^2=625
e pede a hipérbole cujo eixo real tem por extremos os foces dessa elipse e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da elipse.
Em resumo, vamos:
1. Extrair de 16x^2+25y^2=625 os parâmetros a, b, c e a excentricidade eel.
2. Reconhecer que os extremos do eixo real da hipérbole são os vértices (pm c,0) da hipérbole, logo ahip=cel.
3. Usar ehip=1/eel para achar chip.
4. Calcular bhip via chip^2=ahip^2+bhip^2.
5. Escrever a forma reduzida dfracx^2ahip^2-dfracy^2bhip^2=1.

Passo 2

Para a elipse 16x^2+25y^2=625 dividimos por 625 e vemos
x^2625/16+y^2625/25=1,
logo
a^2=62516, b^2=62525=25
Assim
a=254, b=5, c^2=a^2-b^2=62516-25=22516, c=154
A excentricidade da elipse é
eel=ca=tfrac154tfrac254=1525=35

Passo 3

Os foces da elipse estão em (pm c,0)=(pmtfrac154,0). Estes serão os vértices da hipérbole, logo
ahip=cel=154

Passo 4

A excentricidade da hipérbole é o inverso de ,eel, isto é
ehip=1eel=13/5=53
Como em hipérbole ehip=dfracchipahip, temos
chip=ehip;ahip=53cdot154=254

Passo 5

Para a hipérbole valem
chip^2=ahip^2+bhip^2 Longrightarrow bhip^2=chip^2-ahip^2 =(25)^216-(15)^216 =625-22516 =40016 =25

Passo 6

Finalmente, a equação reduzida da hipérbole com centro na origem, eixo transverso sobre o eixo x, é
x^2ahip^2-y^2bhip^2=1 Longrightarrow x^2l(tfrac154r)^2-y^25^2=1

Resposta

boxedx^2(15/4)^2 ;-;y^25^2 ;=;1

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