Determinar a equação reduzida da hipérbole, cujo eixo real tem por extremos os focos da elipse
e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da elipse dada.
Passo 1
O enunciado dá a elipse
e pede a hipérbole cujo eixo real tem por extremos os foces dessa elipse e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da elipse.
Em resumo, vamos:
. Extrair de
os parâmetros
,
,
e a excentricidade
.
. Reconhecer que os extremos do eixo real da hipérbole são os vértices
da hipérbole, logo
.
. Usar
para achar
.
. Calcular
via
.
. Escrever a forma reduzida
.
Em resumo, vamos:
Passo 2
Para a elipse
dividimos por
e vemos
logo
Assim
A excentricidade da elipse é
Passo 3
Os foces da elipse estão em
. Estes serão os vértices da hipérbole, logo
Passo 4
A excentricidade da hipérbole é o inverso de
, isto é
Como em hipérbole
, temos
Passo 5
Para a hipérbole valem
Passo 6
Finalmente, a equação reduzida da hipérbole com centro na origem, eixo transverso sobre o eixo
, é