Determinar a equação reduzida da hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x, centro C=(-1,-3), comprimento do eixo imaginário 4 raiz5 e e=32.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da hipérbole com eixo real paralelo ao eixo x, centro em C=(-1,-3), comprimento do eixo imaginário igual a 4raiz5 e excentricidade e=tfrac32. Para isso, vamos usar as relações
c^2 = a^2 + b^2, e = ca,
e a forma reduzida (eixo real em x)
(x-h)^2a^2 ;-;(y-k)^2b^2 = 1

Passo 2

O comprimento do eixo imaginário é 2b. Como 2b = 4raiz5, segue que
b = 2raiz5, b^2 = 20

Passo 3

Da definição de excentricidade e da relação entre a, b e c, temos
e^2 = c^2a^2 = a^2 + b^2a^2 ;Longrightarrow; e^2 - 1 = b^2a^2
Substituindo e^2 = l(tfrac32r)^2 = tfrac94 e b^2=20, obtém-se
b^2a^2 = 94 - 1 = 54 ;Longrightarrow; a^2 = b^25/4 = 205/4 = 16,
logo a=4. Em seguida
c = a,e = 4 cdot tfrac32 = 6

Passo 4

Com a^2=16, b^2=20 e centro (h,k)=(-1,-3), a forma reduzida é
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1 ;Longrightarrow; (x + 1)^216 - (y + 3)^220 = 1

Resposta

(x + 1)^216 - (y + 3)^220 = 1

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