Determinar a equação reduzida da hipérbole com eixo real contido no eixo y, distância focal 52 e assíntotas m : 5 y=12 x e n : 5 y=-12 x.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de uma hipérbole com eixo real contido no eixo y, distância focal 52 e assíntotas
m:5y=12x e n:5y=-12x
Aqui o eixo real é vertical, logo usaremos a forma padrão
y^2a^2-x^2b^2=1
Precisamos relacionar os parâmetros a, b e c (onde 2c=52) e usar a inclinação das assíntotas.

Passo 2

Para a hipérbole y^2a^2-x^2b^2=1 as assíntotas são
y=pmab,x
Dos dados 5y=12x e 5y=-12x extraímos a inclinação
ab=125 Longrightarrow b=512,a

Passo 3

A distância focal é 2c=52, logo
c=26
Na hipérbole vertical vale
c^2=a^2+b^2
Substituindo b=tfrac512a obtemos
c^2=a^2+l(tfrac512ar)^2 =a^2+25144a^2 =169144a^2

Passo 4

Igualando a c^2 conhecido:
26^2 =169144a^2 Longrightarrow 676=169144a^2 Longrightarrow a^2=676cdot144169=576
e portanto a=24. Então
b=512a=512cdot24=10,
logo b^2=100.

Resposta

y^2576-x^2100=1

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