Determinar a equação reduzida da parábola com foco F=(3,3) e diretriz y=1.

Passo 1

O enunciado pede a parábola cujo foco é F=(3,3) e cuja diretriz é a reta y=1. Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) cuja distância ao foco é igual à distância à diretriz.

Passo 2

Pela definição, qualquer ponto P=(x,y) da parábola satisfaz
dist(P,F)=distl(P,diretrizr)
A distância ao foco é
raiz(x-3)^2+(y-3)^2,
e a distância à diretriz y=1 é
l|y-1r|
Como os pontos da parábola têm y>=1, podemos escrever
raiz(x-3)^2+(y-3)^2=y-1

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos
(x-3)^2+(y-3)^2=(y-1)^2
Expandindo e simplificando:
x^2-6x+9 + y^2-6y+9 = y^2-2y+1
x^2-6x +9 -6y +9 +2y -1 =0
x^2 -6x -4y +17 =0

Passo 4

Para escrever na forma reduzida (vértice e parâmetro focal), note que o vértice fica em
l(3,3+12r)=(3,2)
e o parâmetro focal é p=3-2=1. Isso leva à forma
(x-3)^2 = 4,(y-2)

Resposta

A equação reduzida da parábola é
(x-3)^2 = 4,(y-2)

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