Determinar a equação reduzida e identificar a cônica abaixo. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a cônica de segunda-grau
e pede (i) encontrar sua equação reduzida, (ii) identificar do tipo de cônica e (iii) esboçar o gráfico. Vamos usar o método de completar quadrados para colocar a equação em forma canônica.
Passo 2
Agrupamos os termos em
e em
e completamos quadrados:
Dentro de cada parêntese:
Passo 3
Substituindo na equação original:
Dividindo por
obtemos a forma canônica:
Passo 4
Comparando com as formas padrão, vemos que é uma hipérbole cujo eixo transverso é vertical.
Centro: .
Parâmetros: ,
.
Centro:
Parâmetros:
Passo 5
Vértices: partindo do centro ao longo do eixo
:
isto é,
e
.
Passo 6
Assíntotas passam pelo centro e têm inclinações
:
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Marque o centro
. - Trace os vértices em
e . - Desenhe as assíntotas
. - Desenhe as duas ramificações da hipérbole abrindo para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
Equação reduzida:
É uma hipérbole de eixo transverso vertical, centro em
, vértices em
e
, e assíntotas