Determinar a equação reduzida e identificar a cônica abaixo. Esboce o gráfico.
16 x^{2}-9 y^{2}-64 x-18 y+199=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica de segunda-grau
16x^{2}-9y^{2}-64x-18y+199=0
e pede (i) encontrar sua equação reduzida, (ii) identificar do tipo de cônica e (iii) esboçar o gráfico. Vamos usar o método de completar quadrados para colocar a equação em forma canônica.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e completamos quadrados:
16\bigl(x^{2}-4x\bigr)\;-\;9\bigl(y^{2}+2y\bigr)\;+\;199=0.
Dentro de cada parêntese:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4, \quad y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1.

Passo 3

Substituindo na equação original:
16\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)\;-\;9\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)\;+\;199=0
16(x-2)^{2}-64 \;-\;9(y+1)^{2}+9 \;+\;199=0
16(x-2)^{2}-9(y+1)^{2}+144=0 \;\Longrightarrow\; 9(y+1)^{2}-16(x-2)^{2}=144.
Dividindo por 144 obtemos a forma canônica:
\frac{(y+1)^{2}}{16}\;-\;\frac{(x-2)^{2}}{9}=1.

Passo 4

Comparando com as formas padrão, vemos que é uma hipérbole cujo eixo transverso é vertical.
Centro: (2,-1).
Parâmetros: a^{2}=16\implies a=4, b^{2}=9\implies b=3.

Passo 5

Vértices: partindo do centro ao longo do eixo y:
(2,-1\pm a)=(2,-1\pm4),
isto é, (2,3) e (2,-5).

Passo 6

Assíntotas passam pelo centro e têm inclinações \pm a/b=\pm4/3:
y+1=\pm\frac{4}{3}(x-2).

Passo 7

Esboço do gráfico:
  1. Marque o centro (2,-1).
  2. Trace os vértices em (2,3) e (2,-5).
  3. Desenhe as assíntotas y+1=\pm\frac{4}{3}(x-2).
  4. Desenhe as duas ramificações da hipérbole abrindo para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(y+1)^{2}}{16}-\frac{(x-2)^{2}}{9}=1.
É uma hipérbole de eixo transverso vertical, centro em (2,-1), vértices em (2,3) e (2,-5), e assíntotas
y+1=\pm\frac{4}{3}(x-2).

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