Para o tensor \mathbf{A} e o vetor \mathbf{b} mostrados abaixo realizar as seguintes operações:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 \end{array}\right] \quad \boldsymbol{b}=\left\{\begin{array}{l} 2 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right\}
A_{i j} b_{j}

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz \mathbf{A} e o vetor \mathbf{b} e pede a operação \mathbf{A}_{ij}\,b_{j}, que é exatamente a multiplicação de matriz por vetor. Vamos usar a definição de produto matricial, que contrai o índice j.

Passo 2

Pela definição, o vetor resultante \mathbf{c}=\mathbf{A}\mathbf{b} tem componentes
\mathbf{c}_{i} \;=\;\sum_{j=1}^{3}A_{ij}\,b_{j}\,.

Passo 3

Substituindo os valores de \mathbf{A} e \mathbf{b}:
Para i=1:
\mathbf{c}_{1} = A_{11}b_{1}+A_{12}b_{2}+A_{13}b_{3} =1\cdot2 + 2\cdot0 + 0\cdot1 =2.
Para i=2:
\mathbf{c}_{2} = A_{21}b_{1}+A_{22}b_{2}+A_{23}b_{3} =0\cdot2 + 1\cdot0 + 1\cdot1 =1.
Para i=3:
\mathbf{c}_{3} = A_{31}b_{1}+A_{32}b_{2}+A_{33}b_{3} =0\cdot2 + 4\cdot0 + 2\cdot1 =2.

Resposta

\mathbf{A}\,\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2\\\\ 1\\\\ 2 \end{pmatrix}.

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