Para o tensor \mathbf{A} e o vetor \mathbf{b} mostrados abaixo realizar as seguintes operações:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 \end{array}\right] \quad \boldsymbol{b}=\left\{\begin{array}{l} 2 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right\}
A_{i j} b_{i} b_{j}

Passo 1

O enunciado fornece o tensor \mathbf{A} e o vetor \mathbf{b} e pede que calculemos
A_{ij}\,b_i\,b_j
que, em notação matricial, é a forma quadrática \mathbf{b}^T\mathbf{A}\mathbf{b}. Para resolver, vamos primeiro multiplicar \mathbf{A} por \mathbf{b} e depois fazer o produto escalar com \mathbf{b}.

Passo 2

Calculamos o vetor \mathbf{A}\mathbf{b} pela definição de multiplicação de matriz por vetor:
\mathbf{A}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\[6pt] 0 \\[2pt] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot0 + 0\cdot1 \\[4pt] 0\cdot2 + 1\cdot0 + 1\cdot1 \\[4pt] 0\cdot2 + 4\cdot0 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\[2pt] 1 \\[2pt] 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \mathbf{b} com \mathbf{A}\mathbf{b}:
\mathbf{b}^T(\mathbf{A}\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\[2pt] 1 \\[2pt] 2 \end{pmatrix} = 2\cdot2 + 0\cdot1 + 1\cdot2 = 4 + 0 + 2 = 6.]

Resposta

6

Exercícios relacionados