Determinar os pontos de interseção da hipérbole x^2-4 y^2+20=0 com a parábola y^2-3 x=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de interseção da hipérbole
x^2-4y^2+20=0
com a parábola
y^2-3x=0,
O conteúdo aqui é resolver um sistema de duas equações em x e y, usando substituição.

Passo 2

Da parábola ;y^2-3x=0; isolamos x:
y^2-3x=0 Longrightarrow x=y^23

Passo 3

Substituímos x=tfracy^23 na equação da hipérbole:
l(tfracy^23r)^2-4y^2+20=0 Longrightarrow y^49-4y^2+20=0
Multiplicando por 9 obtemos
y^4-36y^2+180=0

Passo 4

Fazemos t=y^2, transformando em quadrática:
t^2-36t+180=0
O discriminante é
De<a = (-36)^2-4cdot1cdot180 =1296-720=576,
raizDe<a=24. Logo
t = 36pm242 ;Longrightarrow; t=30ou t=6

Passo 5

Voltando a y, temos
y^2=30Longrightarrow y=pmraiz30, y^2=6Longrightarrow y=pmraiz6
E de x=tfracy^23 segue
y^2=30;Longrightarrow;x=303=10, y^2=6;Longrightarrow;x=63=2

Resposta

(10,raiz30),
(10,-raiz30),
(2,raiz6),
(2,-raiz6).

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