Mostre que se lambda é autovalor de T in L(V) então lambda^n é autovalor de T^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se lambda é um autovalor de uma transformação linear T em um espaço vetorial V, então lambda^n é um autovalor de T^n. Aqui estamos trabalhando com autovalores e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de autovalor e as propriedades das potências de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Se lambda é um autovalor de T, isso significa que existe um vetor não nulo v em V tal que quando aplicamos T em v, o resultado é igual a lambda vezes v. Em outras palavras:
T(v) = lambda v
Isso é a definição básica de autovalor e autovetor.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que lambda^n é um autovalor de T^n. Vamos aplicar a transformação T^n no vetor v:
T^n(v) = T(T^n-1(v))
Mas sabemos que T(v) = lambda v, então substituindo:
T^n(v) = T(T^n-1(v)) = lambda T^n-1(v)
Aplicando isso repetidamente até chegar a T^n(v) = lambda^n v. Isso mostra que:
T^n(v) = lambda^n v
Portanto, v é um vetor não nulo que satisfaz essa equação para T^n, o que significa que lambda^n é um autovalor de T^n.

Resposta

Assim, mostramos que se lambda é autovalor de T, então lambda^n é autovalor de T^n.

Exercícios relacionados