Mostre que se
é autovalor de
então
é autovalor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se
é um autovalor de uma transformação linear
em um espaço vetorial
, então
é um autovalor de
. Aqui estamos trabalhando com autovalores e transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de autovalor e as propriedades das potências de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Se
é um autovalor de
, isso significa que existe um vetor não nulo
em
tal que quando aplicamos
em
, o resultado é igual a
vezes
. Em outras palavras:
Isso é a definição básica de autovalor e autovetor.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é um autovalor de
. Vamos aplicar a transformação
no vetor
:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Aplicando isso repetidamente até chegar a
. Isso mostra que:
Portanto,
é um vetor não nulo que satisfaz essa equação para
, o que significa que
é um autovalor de
.
Resposta
Assim, mostramos que se
é autovalor de
, então
é autovalor de
.