Determinar a equação solicitada para seguintes retas:
Equação paramétrica, simétrica e reduzida da reta que passa pelo ponto A=(2,3,5) e é ortogonal aos vetores u=(2,3,5) e v=(4,-1,3).

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por A=(2,3,5) e é ortogonal aos vetores vec u=(2,3,5) e vec v=(4,-1,3). Para achar a direção dessa reta, vamos usar o produto vetorial, já que vec utimesvec v é perpendicular a ambos.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial
vec u times vec v = i & j & k 2 & 3 & 5 4 & -1 & 3 = i(3cdot3 - 5cdot(-1)) - j(2cdot3 - 5cdot4) + k(2cdot(-1) - 3cdot4)
Logo,
vec u times vec v = i(9+5) - j(6-20) + k(-2-12) = 14,i +14,j -14,k

Passo 3

Podemos simplificar essa direção dividindo por 14. Assim, um vetor diretor é
vec d = (1,,1,,-1)

Passo 4

A equação paramétrica da reta (com parâmetro t) é
x = 2 + t, y = 3 + t, z = 5 - t

Passo 5

A equação simétrica da reta elimina o parâmetro e fica
x - 21 ;=;y - 31;=;z - 5-1

Passo 6

A forma vetorial (ou “reduzida”) da reta é
vec r = (2,3,5) + t,(1,1,-1)

Resposta

Paramétrica:
x = 2 + t, y = 3 + t, z = 5 - t
Simétrica:
x - 21 = y - 31 = z - 5-1
Reduzida (vetorial):
vec r = (2,3,5) + t,(1,1,-1)

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