Determinar as equações da reta na forma simétrica nos seguintes casos:
que passa pelos pontos A=(0,1,2) e B=(1,1,3).
Passo 1
O enunciado pede a forma simétrica da reta que passa pelos pontos A=(0,1,2) e B=(1,1,3). Para isso vamos usar o fato de que, em \mathbb{R}^3, a forma simétrica de uma reta exige: (i) um ponto por onde ela passa e (ii) um vetor diretor. Depois montamos a equação paramétrica e, enfim, extraímos a forma simétrica.
Passo 2
Calcular o vetor diretor \vec d da reta como B - A.
\vec d = (1-0,\;1-1,\;3-2) = (1,0,1).
Passo 3
Escrever a equação paramétrica usando o ponto A=(0,1,2) e o vetor diretor \vec d=(1,0,1). Chamando o parâmetro de t, temos
\begin{cases} x = 0 + 1\cdot t = t,\\\ y = 1 + 0\cdot t = 1,\\\ z = 2 + 1\cdot t = 2 + t. \end{cases}
Passo 4
Passar da forma paramétrica para a forma simétrica. Quando um componente do vetor diretor é zero (aqui d_y=0), a forma simétrica fica composta por uma equação para as variáveis cujos componentes não são nulos e uma equação à parte para a coordenada constante. Assim
\frac{x-0}{1} = \frac{z-2}{1} \quad\text{e}\quad y = 1.
Podemos simplificar \frac{x-0}{1}=x e \frac{z-2}{1}=z-2, ficando