Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty(nn+1)^n^2

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
sumn=1^+inftyl(nn+1r)^n^2
O conteúdo principal é o critério da raiz (ou Cauchy), que diz que se
L = limntoinftyraiz[n]an
existe e satisfaz L<1, então a série sum an converge absolutamente. Vamos aplicar esse critério.

Passo 2

Defina
an = l(nn+1r)^n^2
O critério da raiz pede o cálculo de
raiz[n]an = l(nn+1r)^n

Passo 3

Calcule o limite
limntoinftyl(nn+1r)^n = limntoinftyl(1+1nr)^-n = e^-1
Aqui usamos que limxtoinfty(1+1/x)^x=e.

Passo 4

Como
L = e^-1 < 1,
o critério da raiz garante que a série sumn=1^inftyan converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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