Discuta o comportamento das séries abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty n!e^n^2

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^+infty n!e^n^2
Estamos lidando com uma série de termos positivos, e o que precisamos é verificar se esses termos decaem rápido o bastante para que a soma seja finita. Para isso, vamos usar o teste da razão, que compara o quociente entre termos consecutivos.

Passo 2

Seja
an = n!e^n^2
Aplicamos o teste da razão, calculando
limntoinfty an+1an = limntoinfty tfrac(n+1)!e^(n+1)^2tfracn!e^n^2 = limntoinfty (n+1)!n!,e^n^2e^(n+1)^2 = limntoinfty (n+1),e^,n^2 - (n+1)^2
Note que
n^2 - (n+1)^2 = -2n -1,
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an+1an = (n+1),e^-2n-1 = (n+1),e^-1,e^-2n
À medida que ntoinfty, o fator e^-2n domina e faz o produto tender a zero:
limntoinfty an+1an = 0

Passo 3

Como a razão limite é 0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série
sumn=1^+infty n!e^n^2
converge absolutamente.

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