Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem a direção do vetor \vec{v}=2 \vec{i}+2 \vec{j}-\vec{k}. Além disso, verifique se o ponto P(7,4,-7) pertence a reta r.

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem direção dada pelo vetor \vec v = 2\vec i + 2\vec j - \vec k. Em seguida, devemos verificar se o ponto P(7,4,-7) pertence a essa reta. O conteúdo envolvido é a representação de retas em \mathbb{R}^3 na forma \mathbf r(t)=\mathbf r_0 + t\mathbf v e a checagem de pertencimento via sistema paramétrico.

Passo 2

Para obter a equação vetorial da reta, escolhemos como ponto inicial \mathbf r_0 = (3,0,-5) e como vetor diretor \mathbf v=(2,2,-1). Logo, em forma de vetor,
\mathbf r(t) = (3,0,-5) + t\,(2,2,-1),\quad t\in\mathbb{R}.
Em coordenadas paramétricas:
\begin{cases} x = 3 + 2t,\\\ y = 0 + 2t,\\\ z = -5 - t. \end{cases}

Passo 3

Para verificar se P(7,4,-7) está em r, igualamos suas coordenadas às paramétricas:
7 = 3 + 2t \;\Rightarrow\; t=2, \quad 4 = 2t \;\Rightarrow\; t=2, \quad -7 = -5 - t \;\Rightarrow\; t=2.
Como obtemos o mesmo parâmetro t=2 em todas as equações, concluímos que P pertence à reta.

Resposta

\mathbf{r}(t) = (3,0,-5) + t\,(2,2,-1),\\ t \in \mathbb{R}.\nSim, o ponto P(7,4,-7) pertence à reta (corresponde a t=2).

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