Questão 2 (7 pontos). Seja A=\left(\begin{array}{cccc}-1 & -1 & 1 & 1 \\\\ -1 & -1 & 5 & -1 \\\\ -4 & 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & -1 & 3 & -1\end{array}\right).
(a) Calcule \operatorname{det}(A).
(b) Calcule \operatorname{det}\left(A^{4} \cdot\left(A^{-1}\right)^{t}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & 1 \\\\ -1 & -1 & 5 & -1 \\\\ -4 & 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
e pede:
(a) \det(A).
(b) \det\bigl(A^{4}\cdot (A^{-1})^{t}\bigr).
O conteúdo é determinante de matriz e exploração de propriedades como \det(BC)=\det(B)\det\text{(C)}, \det(A^k)=(\det A)^k, \det(A^{-1})=(\det A)^{-1} e \det(B^t)=\det(B).

Passo 2

Para calcular \det(A), fazemos a operação de coluna
C_{2}\leftarrow C_{2}-C_{1},
que não altera o determinante. Assim a segunda coluna fica (0,0,5,0)^t e só há um elemento não nulo em C_{2}, na linha 3. Logo, ao expandir em C_{2}:
\det(A) = a_{32}\,(-1)^{3+2}\,\det(M) =5\cdot(-1)\,\det(M) =-5\,\det(M),
onde M é a matriz 3\times 3 obtida eliminando a linha 3 e a coluna 2 de A.

Passo 3

A matriz M é
M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ -1 & 5 & -1\\\\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}.
Calculando seu determinante por regra de Sarrus ou expansão, temos
\det(M) =-1\bigl(5\cdot(-1)-(-1)\cdot3\bigr) -1\bigl((-1)\cdot(-1)-(-1)\cdot(-1)\bigr) +1\bigl((-1)\cdot3-5\cdot(-1)\bigr) =2+0+2 =4.
Portanto
\det(A)=-5\cdot4=-20.

Passo 4

Para \det\bigl(A^{4}\cdot (A^{-1})^{t}\bigr), usamos as propriedades de determinante:
\det(A^{4}\cdot (A^{-1})^{t}) =\det(A^{4})\;\det\bigl((A^{-1})^{t}\bigr) =(\det A)^{4}\;\det(A^{-1}) =(\det A)^{4}\;(\det A)^{-1} =(\det A)^{3}.
Como \det(A)=-20, segue
\det\bigl(A^{4}\cdot (A^{-1})^{t}\bigr) =(-20)^{3}=-8000.

Resposta

(a) -20
(b) -8000

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