Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+y, x+y-z)
a) Calcule a matriz que representa T na base canónica.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y,z) = (x+y,\;x+y-z).
Queremos a matriz de T nas bases canónicas de \mathbb{R}^3 e \mathbb{R}^2. Para isso, basta calcular T aplicado aos vetores canónicos de \mathbb{R}^3 e usar esses resultados como colunas da matriz.

Passo 2

Calculemos as imagens dos vectores canónicos:
T(1,0,0) = (1+0,\;1+0-0) = (1,1),
T(0,1,0) = (0+1,\;0+1-0) = (1,1),
T(0,0,1) = (0+0,\;0+0-1) = (0,-1).

Passo 3

A matriz de T na base canónica é a matriz 2\times3 cujas colunas são as imagens acima, isto é,

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

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