Determine as equações simétricas da reta que passa pelos pontos A(2,1,-3) e B(4,0,-2).

Passo 1

O enunciado pede as equações simétricas da reta que passa pelos pontos A(2,1,-3) e B(4,0,-2). O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3: para obter a equação da reta, primeiro precisamos do vetor diretor \vec d que vai de A a B, depois escrevemos as equações paramétricas e, finalmente, convertê-las para a forma simétrica.

Passo 2

Calcular o vetor diretor \vec d subtraindo as coordenadas de A das de B:
\vec d = B - A = (4-2,\;0-1,\;-2-(-3)) = (2,\,-1,\,1).

Passo 3

Usar \vec d\) e o ponto \(A\) para escrever as equações paramétricas da reta: \[\begin{cases} x = 2 + 2t,\\\ y = 1 - t,\\\ z = -3 + t, \end{cases}
onde (t\in\mathbb{R}] é o parâmetro.

Passo 4

Isolar t em cada uma das três equações para obter a forma simétrica:
t = \frac{x-2}{2},\quad t = \frac{y-1}{-1},\quad t = \frac{z+3}{1}.
Igualando essas expressões de t, temos a equação simétrica da reta.

Resposta

\frac{x-2}{2} \;=\;\frac{y-1}{-1}\;=\;\frac{z+3}{1}.

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