Determinar as equações paramétricas do astróide: trajetória descrita por um ponto P fixo sobre uma circunferência de raio R4 rolando sem deslizar ao longo de uma outra circunferência de raio R. Considere que no tempo t=0 o ponto P esteja na posição (R, 0).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma trajetória chamada astróide. Essa trajetória é formada por um ponto P que está fixo numa circunferência menor, de raio R4, que rola sem deslizar ao longo de uma circunferência maior, de raio R. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática de movimentos circulares e equações paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o movimento. Imagine que temos uma circunferência maior de raio R parada. Agora, uma circunferência menor de raio R4 começa a rolar ao redor da maior sem deslizar. O ponto P está fixo na circunferência menor e vai descrever uma trajetória no plano enquanto a circunferência menor roda.

Passo 3

Como a circunferência menor rola sem deslizar, o comprimento percorrido pela circunferência menor em um giro completo deve ser igual ao comprimento correspondente na circunferência maior. O comprimento de uma circunferência é dado por C = 2pi r. Então, para a circunferência menor:
Cmenor = 2pi (R4) = pi R2
E para a circunferência maior:
Cmaior = 2pi R
Isso significa que, para cada volta completa da circunferência menor, ela percorre um ângulo de rotação de theta tal que:
pi R2 = R theta implies theta = pi2

Passo 4

Agora, vamos relacionar o ângulo de rotação theta com o tempo t. Supondo que a circunferência menor faz uma rotação constante, podemos associar o ângulo theta = omega t, onde omega é a velocidade angular. Porém, para simplificar, podemos usar theta como o parâmetro da nossa equação paramétrica.

Passo 5

Para encontrar as equações paramétricas da trajetória, vamos usar a fórmula da hipocicloide, que descreve a trajetória de um ponto fixo em uma circunferência que rola internamente em outra. A fórmula geral da hipocicloide é:
x(theta) = (R - r) cos theta + r cos (R - rr theta )
y(theta) = (R - r) sin theta - r sin (R - rr theta )
Onde R é o raio da circunferência fixa e r o raio da circunferência que rola.

Passo 6

No nosso caso, R = R e r = R4. Vamos substituir esses valores na fórmula:
x(theta) = (R - R4) cos theta + R4 cos (R - R4R4 theta )
Simplificando:
x(theta) = 3R4 cos theta + R4 cos (3theta)

Passo 7

Fazendo o mesmo para y(theta):
y(theta) = (R - R4) sin theta - R4 sin (R - R4R4 theta )
Simplificando:
y(theta) = 3R4 sin theta - R4 sin (3theta)

Resposta

As equações paramétricas da astróide são:
x(theta) = 3R4 cos theta + R4 cos (3theta)
y(theta) = 3R4 sin theta - R4 sin (3theta)

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