Determinar as equações paramétricas do astróide: trajetória descrita por um ponto
fixo sobre uma circunferência de raio
rolando sem deslizar ao longo de uma outra circunferência de raio
. Considere que no tempo
o ponto
esteja na posição
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma trajetória chamada astróide. Essa trajetória é formada por um ponto
que está fixo numa circunferência menor, de raio
, que rola sem deslizar ao longo de uma circunferência maior, de raio
. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática de movimentos circulares e equações paramétricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o movimento. Imagine que temos uma circunferência maior de raio
parada. Agora, uma circunferência menor de raio
começa a rolar ao redor da maior sem deslizar. O ponto
está fixo na circunferência menor e vai descrever uma trajetória no plano enquanto a circunferência menor roda.
Passo 3
Como a circunferência menor rola sem deslizar, o comprimento percorrido pela circunferência menor em um giro completo deve ser igual ao comprimento correspondente na circunferência maior. O comprimento de uma circunferência é dado por
. Então, para a circunferência menor:
E para a circunferência maior:
Isso significa que, para cada volta completa da circunferência menor, ela percorre um ângulo de rotação de
tal que:
Passo 4
Agora, vamos relacionar o ângulo de rotação
com o tempo
. Supondo que a circunferência menor faz uma rotação constante, podemos associar o ângulo
, onde
é a velocidade angular. Porém, para simplificar, podemos usar
como o parâmetro da nossa equação paramétrica.
Passo 5
Para encontrar as equações paramétricas da trajetória, vamos usar a fórmula da hipocicloide, que descreve a trajetória de um ponto fixo em uma circunferência que rola internamente em outra. A fórmula geral da hipocicloide é:
Onde
é o raio da circunferência fixa e
o raio da circunferência que rola.
Passo 6
No nosso caso,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 7
Fazendo o mesmo para
:
Simplificando:
Resposta
As equações paramétricas da astróide são: