Determinar as equações paramétricas da perpendicular comum às seguintes retas:
(b)
r:l x=1+t y=-1+2 t z=2-3 t , t in R e s:l x=2-lambda y=-1+4 lambda z=3+lambda , lambda in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta perpendicular comum às duas retas dadas, e . Isso faz parte da geometria analítica, onde trabalhamos com retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar encontrar uma reta que seja perpendicular a ambas as retas e ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas x = 1 + t y = -1 + 2t z = 2 - 3t e x = 2 - lambda y = -1 + 4lambda z = 3 + lambda . Olhando as equações paramétricas:
Para a reta :
O vetor diretor é .
Para a reta é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar um vetor n = u times v = i & j & k 1 & 2 & -3 -1 & 4 & 1 = i(2 cdot 1 - (-3) cdot 4) - j(1 cdot 1 - (-3) cdot (-1)) + k(1 cdot 4 - 2 cdot (-1)) que seja perpendicular a ambos = i(2 + 12) - j(1 - 3) + k(4 + 2) e = 14i + 2j + 6k . Isso significa que deve ser o produto vetorial de e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando:
Então, .

Passo 4

Com o vetor P = (1 + t, -1 + 2t, 2 - 3t) em mãos, precisamos encontrar um ponto que pertence à reta comum perpendicular. Para isso, vamos considerar dois pontos, um em cada reta Q = (2 - lambda, -1 + 4lambda, 3 + lambda) e PQ = Q - P = (2 - lambda - (1 + t), -1 + 4lambda - (-1 + 2t), 3 + lambda - (2 - 3t)) , de tal forma que o vetor que os une seja paralelo a = (1 - lambda - t, 4lambda - 2t, 1 + lambda + 3t) .
Vamos chamar esses pontos de na reta e na reta :
O vetor será:

Passo 5

Como 1 - lambda - t14 = 4lambda - 2t2 = 1 + lambda + 3t6 deve ser paralelo a 1 - lambda - t14 = 4lambda - 2t2 , seus componentes devem ser proporcionais:
(1 - lambda - t) cdot 2 = (4lambda - 2t) cdot 14
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de 2 - 2lambda - 2t = 56lambda - 28t e 2 - 2lambda - 2t - 56lambda + 28t = 0 .
Primeiro, igualamos as duas primeiras frações:
2 - 58lambda + 26t = 0
Multiplicando cruzado:
58lambda - 26t = 2 (Equação 1)
1 - lambda - t14 = 1 + lambda + 3t6
Levando tudo para um lado:
(1 - lambda - t) cdot 6 = (1 + lambda + 3t) cdot 14
6 - 6lambda - 6t = 14 + 14lambda + 42t
Simplificando:
6 - 6lambda - 6t - 14 - 14lambda - 42t = 0 çã
Agora, igualamos a primeira e a terceira fração:
-20lambda - 48t - 8 = 0
Multiplicando cruzado:
20lambda + 48t = -8 (Equação 2)
Levantando tudo para um lado:
Simplificando:
çã

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. 1160lambda - 520t = 40
  2. 1160lambda + 2784t = -464
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 20 e a Equação 2 por 58 para eliminar (1160lambda + 2784t) - (1160lambda - 520t) = -464 - 40 :
Multiplicando Equação 1 por 20:
2784t + 520t = -504
Multiplicando Equação 2 por 58:
3304t = -504
Agora, subtraindo a primeira da segunda:
t = -5043304 = -126826 = -63413
58lambda - 26(-63413) = 2
58lambda + 1638413 = 2
58lambda = 2 - 1638413 = 826 - 1638413 = -812413
Agora, substituímos lambda = -812413 cdot 58 = -81223954 = -40611977 na Equação 1 para encontrar :

Passo 7

Com os valores de P = (1 + -63413, -1 + 2(-63413), 2 - 3(-63413)) e = (350413, -539413, 1101413) encontrados, podemos determinar os pontos Q = (2 - (-40611977), -1 + 4(-40611977), 3 + (-40611977)) e = (2484811977, -1328711977, 3560511977) :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, podemos determinar o vetor direção da reta perpendicular comum, que é PQ = Q - P = (2484811977 - 350413, -1328711977 - -539413, 3560511977 - 1101413) :
Após simplificar, chegamos ao vetor , que já tínhamos encontrado anteriormente como .

Resposta

As equações paramétricas da reta perpendicular comum são:
x = 350413 + 14mu y = -539413 + 2mu z = 1101413 + 6mu , mu in R

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