Seja
tal que
. Ache os vetores
tais que:
b)
b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
representada pela matriz
O objetivo é encontrar um vetor
tal que
. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, ao aplicar a transformação
no vetor
, o resultado é o vetor
multiplicado por
.
Passo 3
Vamos representar o vetor
como
. Então, aplicando a matriz
em
, temos:
De acordo com a condição
, isso se traduz na seguinte equação:
Passo 4
Agora, vamos igualar os componentes correspondentes dos vetores:
Da primeira equação,
, podemos simplificar eliminando
de ambos os lados:
Da segunda equação,
, já sabemos que
.
Passo 5
Com
, o vetor
fica:
Aqui,
pode ser qualquer número real. Portanto, todos os vetores da forma
satisfazem a condição
.
Resposta
Os vetores
que satisfazem
são da forma
, onde
é qualquer número real.