Seja T: R^2 R^2 tal que [T]=[cc-1 & -2 0 & 1]. Ache os vetores u e v tais que:
b) T(v)=-v

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear [T] = -1 & -2 0 & 1 representada pela matriz
O objetivo é encontrar um vetor tal que . Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, ao aplicar a transformação no vetor , o resultado é o vetor multiplicado por .

Passo 3

Vamos representar o vetor x y como T(v) = [T] cdot v = -1 & -2 0 & 1 x y = -x - 2y y . Então, aplicando a matriz -x - 2y y = -x -y em , temos:
De acordo com a condição , isso se traduz na seguinte equação:

Passo 4

Agora, vamos igualar os componentes correspondentes dos vetores:
-x - 2y = -x y = -y
Da primeira equação, -2y = 0 implies y = 0 , podemos simplificar eliminando de ambos os lados:
Da segunda equação, , já sabemos que .

Passo 5

Com v = x 0 , o vetor x 0 fica:
Aqui, pode ser qualquer número real. Portanto, todos os vetores da forma satisfazem a condição .

Resposta

Os vetores x 0 que satisfazem são da forma , onde é qualquer número real.

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