Determine a equação geral do plano que é perpendicular a reta
r:l x=2 t+2 y=1-3 t z=4 t
e que contenha o ponto A(-1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano que seja perpendicular à reta dada e que passe pelo ponto . Vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos identificar o vetor diretor da reta e saber como ele se relaciona com o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta x = 2t + 2 y = 1 - 3t z = 4t . A reta está definida pelas equações paramétricas:
v = (2, -3, 4)
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas equações, ou seja:

Passo 3

Parceiro, como o plano é perpendicular à reta, isso significa que o vetor diretor da reta é normal ao plano. Ou seja, o vetor normal n = (2, -3, 4) do plano é paralelo a . Assim, podemos tomar:

Passo 4

Agora, vamos usar a forma geral da equação do plano, que é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde A = 2, B = -3, C = 4 são as componentes do vetor normal (x0, y0, z0) = (-1, 2, 3) e é um ponto que pertence ao plano. No nosso caso, temos:

Passo 5

Substituindo os valores na equação do plano, temos:
2(x - (-1)) - 3(y - 2) + 4(z - 3) = 0
Simplificando os sinais:
2(x + 1) - 3(y - 2) + 4(z - 3) = 0

Passo 6

Distribuindo os termos:
2x + 2 - 3y + 6 + 4z - 12 = 0
Somando os termos constantes:
2x - 3y + 4z - 4 = 0

Passo 7

Para ficar na forma padrão, vamos rearranjar a equação:
2x - 3y + 4z = 4

Resposta

A equação geral do plano é .

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