Questão 4 (2 pontos). Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço de papelão quadrado de lado
. Determine a altura que maximiza o volume.
Passo 1
O enunciado pede para construir, a partir de um quadrado de lado
, uma caixa sem tampa, cortando quadrados de lado
em cada canto e dobrando as abas. A caixa resultante tem altura
e base quadrada de lado
. Vamos usar otimização de função de uma variável via derivada para encontrar
que maximiza o volume.
Passo 2
A função volume
em função de
é
com domínio
, pois se
não há caixa e se
a base some.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
As soluções de
são
Passo 4
Para identificar o máximo, avaliamos extremos e concavidade:
-
e . - A segunda derivada vale
Em
nota-se que
, indicando um ponto de máximo. Logo o volume é máximo em
.