Questão 4 (2 pontos). Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço de papelão quadrado de lado L. Determine a altura que maximiza o volume.

Passo 1

O enunciado pede para construir, a partir de um quadrado de lado L, uma caixa sem tampa, cortando quadrados de lado x em cada canto e dobrando as abas. A caixa resultante tem altura x e base quadrada de lado L-2x. Vamos usar otimização de função de uma variável via derivada para encontrar x que maximiza o volume.

Passo 2

A função volume V em função de x é
V(x) = x,(L - 2x)^2,
com domínio 0 <= x <= L2, pois se x=0 não há caixa e se x=tfracL2 a base some.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira e igualamos a zero:
dVdx = (L - 2x)^2 + xcdot 2,(L - 2x),(-2) = (L - 2x)l(L - 2x - 4xr) = (L - 2x)(L - 6x)
As soluções de tfracdVdx=0 são
x = L2 e x = L6

Passo 4

Para identificar o máximo, avaliamos extremos e concavidade:
  • V(0)=0 e V(L/2)=0.
  • A segunda derivada vale
d^2Vdx^2 = -2,(L - 6x) + (L - 2x),(-6)
Em x=tfracL6 nota-se que tfracd^2Vdx^2<0, indicando um ponto de máximo. Logo o volume é máximo em x=tfracL6.

Resposta

x = L6

Exercícios relacionados