A reta r: x-24=+45=z3, forma um ângulo de 30^circ com a reta determinada pelos pontos A(0,-5,-2) e B(1, n-5,0). Calcular o valor de n.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:x-24=y+45=z3
e pede o valor de n tal que o ângulo entre r e a reta que passa por A(0,-5,-2) e B(1,n-5,0) seja de 30^circ. Vamos precisar do vetor diretor de cada reta e da fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

O vetor diretor de r é
v = (4,5,3)
Para a reta AB, o vetor diretor é
w = AB = B - A = (1-0,;(n-5)-(-5),;0-(-2)) = (1,n,2)

Passo 3

A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores v e w é
costheta = l|vcdot wr||v|;|w|
Aqui theta=30^circ, logo cos30^circ=tfracraiz32. Calculamos
vcdot w = 4cdot1 + 5cdot n + 3cdot2 = 5n+10, |v| = raiz4^2+5^2+3^2 = 5raiz2, |w| = raiz1^2+n^2+2^2 = raizn^2+5
Substituindo em |vcdot w||v||w|=raiz32
l|5n+10r|5raiz2;raizn^2+5 = raiz32

Passo 4

Elevando ambos os lados ao quadrado e simplificando obtemos
(5n+10)^2 = 752,(n^2+5) Longrightarrow n^2 - 8n + 7 = 0
As raízes são
n = 8pmraiz64-282 = 8pm62,
isto é, n=7 ou n=1.

Resposta

n = 1 ou n = 7.

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