Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é ortogonal às retas
r1:(x, y, z)=(0,0,1)+t(2,3,-4) e r2:c x=5 y=t z=1-t

Passo 1

O enunciado pede a reta r que passa por A=(3,4,-1) e é ortogonal às retas r1 e r2.
Para que uma reta seja ortogonal a duas retas dadas, seu vetor direcional vec v deve ser perpendicular aos vetores direcionais vec d1 e vec d2 dessas retas. Logo, podemos tomar
vec v ;=;vec d1times vec d2

Passo 2

Identificamos os vetores direcionais:
r1: (x,y,z) = (0,0,1) + t cdot (2,3,-4) Longrightarrow d1 = (2,3,-4),
r2: x = 5, [6pt] y = t, [2pt] z = 1 - t Longrightarrow d2 = (0,1,-1)
]

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
vec v ;=;vec d1times vec d2 = i & j & k 2 & 3 & -4 0 & 1 & -1 =(1,2,2)

Passo 4

A reta r passa em A=(3,4,-1) e tem direção vec v=(1,2,2). Usando parâmetro s, obtemos
x=3+s, y=4+2s, z=-1+2s, sin R

Resposta

boxed x=3+s, y=4+2s, z=-1+2s, sin R

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