Verifique se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determine o ponto de intersecção:
r1:cx=3+h y=1+2 h z=2-h e r2:cx=5+3 t y=-3-2 t z=4+t

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica em
O conteúdo é interseção de retas no espaço. Para decidir se são concorrentes, igualamos as coordenadas e .

Passo 2

Igualando as componentes, obtemos:
3+h = 5+3t,
1+2h = -3-2t,
2-h = 4+t
Em cada uma isolamos h em função de t:
a) De 3+h = 5+3t segue
h = 2 + 3t
b) De 1+2h = -3-2t segue
2h = -4 - 2t Rightarrow h = -2 - t
c) De 2-h = 4+t segue
-h = 2 + t Rightarrow h = -2 - t

Passo 3

As expressões de h vindas de (b) e (c) coincidem, e igualamos com (a):
2 + 3t = -2 - t Rightarrow 4t = -4 Rightarrow t = -1
Substituindo em h = 2+3t
h = 2 + 3(-1) = -1
Verificamos que em h = -2 - t também vem h = -2 -(-1) = -1, consistente.

Passo 4

Para determinar o ponto de interseção, inserimos h=-1 em r1:
x = 3 + (-1) = 2, y = 1 + 2(-1) = -1, z = 2 - (-1) = 3
Logo o ponto comum é
P = (2,-1,3)

Resposta

As retas são concorrentes e o ponto de interseção é P=(2,-1,3).

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