Determinar as equações paramétricas das retas interseções dos seguintes planos:
3 x-2 y+z-2=0 e 3 x+4 y+z+1=0;

Passo 1

O enunciado pede a reta que é interseção dos planos
3x - 2y + z - 2 = 0
e
3x + 4y + z + 1 = 0.
Conteúdo: reta como interseção de dois planos em \mathbb{R}^3. Vamos precisar de
  1. vetores normais dos planos,
  2. produto vetorial desses normais para achar a direção da reta,
  3. um ponto particular que satisfaça ambos os planos.

Passo 2

Obtemos os normais
\mathbf{n}_1 = (3,\,-2,\,1), \qquad \mathbf{n}_2 = (3,\,4,\,1).
A direção da reta é o vetor
\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2.

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix} = (-2\cdot1 - 1\cdot4)\,\mathbf{i} - (3\cdot1 - 1\cdot3)\,\mathbf{j} + (3\cdot4 - (-2)\cdot3)\,\mathbf{k} = (-6,\,0,\,18).
Podemos simplificar para
\mathbf{v} = (-1,\,0,\,3).

Passo 4

Para achar um ponto P=(x_0,y_0,z_0)\) na reta, resolvemos \[\begin{cases} 3x - 2y + z = 2,\\\\ 3x + 4y + z = -1. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda dá
6y = -3 \;\Longrightarrow\; y = -\tfrac12.
Substituindo em 3x -2(-\tfrac12)+z=2\] vem \[3x +1 + z = 2 \;\Longrightarrow\; z = 1 - 3x.\] Escolhendo \(x=0 fica z=1. Assim um ponto é
P=(0,\,-\tfrac12,\,1).

Passo 5

A equação vetorial da reta é
(x,y,z) = (0,\,-\tfrac12,\,1) + t\,(-1,0,3), \quad t\in\mathbb{R},
ou, em forma paramétrica,
\begin{cases} x = -t,\\\ y = -\tfrac12,\\\ z = 1 + 3t. \end{cases}

Resposta

\boxed{ \begin{cases} x = -t,\\\ y = -\tfrac12,\\\ z = 1 + 3t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}. }

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