Identifique as superfícies abaixo e calcule seus traos (interseção com os planos base x y, x z e y z.
(l) x^{2}-y^{2}-4=2 z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada por
x^{2}-y^{2}-4=2\,z^{2}
e calcular suas interseções (traços) com os planos coordenados xy, xz e yz.
O conteúdo envolvido é a classificação de superfícies quadráticas e o cálculo de traços definindo uma coordenada nula de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos pôr a equação em forma padrão. Reescrevendo
x^{2}-y^{2}-4=2\,z^{2}
passamos o termo constante para o outro lado e agrupamos os termos quadráticos:
x^{2}-y^{2}-2\,z^{2}=4.
Em seguida dividimos ambos os lados por 4:
\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{2}=1.

Passo 3

Comparando com as formas padrão de quádricas:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
vemos que há um termo positivo x^{2} e dois termos negativos y^{2}, z^{2}. Essa é a forma de uma hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal está sobre o eixo x.

Passo 4

Traço no plano xy (ou seja, z=0):
x^{2}-y^{2}-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-y^{2}=4.
Isso é uma hipérbole no plano xy, com focos ao longo do eixo x.

Passo 5

Traço no plano xz (ou seja, y=0):
x^{2}-4=2\,z^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2\,z^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}-\frac{z^{2}}{2}=1.
Também é uma hipérbole, agora no plano xz.

Passo 6

Traço no plano yz (ou seja, x=0):
-\,y^{2}-4=2\,z^{2} \quad\Longrightarrow\quad -\,y^{2}-2\,z^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+2\,z^{2}=-4.
Como soma de quadrados não pode ser negativa, não há pontos reais de interseção com o plano yz.

Resposta

A superfície é uma hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo de x.
Traços:
– Plano xy z=0: x^{2}-y^{2}=4 (hipérbole).
– Plano xz y=0: x^{2}-2\,z^{2}=4 (hipérbole).
– Plano yz x=0: nenhum ponto real (traço vazio).

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