Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto A(1,3,0) e tem a direção do vetor \vec{v}=(3,4,-1).

Passo 1

O enunciado dá claramente duas informações e pede duas coisas — vou listar tudo de modo bem organizado.
Dados:
  • Ponto A com coordenadas A(1,3,0).
  • Vetor diretor \vec{v}=(3,4,-1).
O que pede:
  • As equações paramétricas da reta que passa por A e tem direção \vec{v}.
  • As equações simétricas dessa mesma reta.

Passo 2

Ideia básica (em palavras simples): uma reta no espaço pode ser descrita como o conjunto de pontos obtidos ao partir de um ponto conhecido A e somar múltiplos reais de um vetor direção \vec{v}. Esse múltiplo real é o parâmetro (chamaremos de t). Escrevendo isso em forma vetorial temos a forma vetorial da reta.
Fórmula vetorial padrão:
\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde:
  • \vec{r} é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta (representa as coordenadas (x,y,z) desse ponto),
  • \vec{r_0} é o vetor posição do ponto conhecido da reta (aqui \vec{r_0}=(1,3,0)),
  • \vec{v} é o vetor direção da reta (aqui \vec{v}=(3,4,-1)),
  • t\in\mathbb{R} é o parâmetro real que “varre” a reta.

Passo 3

Transformando a forma vetorial em equações paramétricas: escrevendo a igualdade coordenada a coordenada.
Partindo de
\vec{r}=(x,y,z)= (1,3,0) + t(3,4,-1),
obtemos as equações coordenadas
x = 1 + 3t,
y = 3 + 4t,
z = 0 - 1\cdot t = -t.
Explicando cada linha: por exemplo x é a componente x do ponto inicial 1 mais 3 vezes o parâmetro t, porque a componente x do vetor direção é 3. O mesmo raciocínio vale para y e z.
Também é importante dizer o domínio do parâmetro:
t\in\mathbb{R},
ou seja, ao variar t por todos os reais obtemos todos os pontos da reta.

Passo 4

Agora vamos obter as equações simétricas. A ideia é eliminar t entre as equações paramétricas: resolver cada equação para t e igualar.
Das equações paramétricas:
x=1+3t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{x-1}{3},
y=3+4t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{y-3}{4},
z=-t \quad\Rightarrow\quad t=-z \quad\Rightarrow\quad t=\frac{z-0}{-1}.
Igualando as três expressões para t obtemos a forma simétrica padrão:
\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-0}{-1}.

Passo 5

Observações úteis para a prova (e para não errar na hora):
  • A forma simétrica só é válida quando os componentes do vetor direção não são zero. Aqui \vec{v}=(3,4,-1) tem todos os componentes não nulos, então a forma simétrica acima é perfeitamente legal.
  • Se algum componente do vetor direção fosse zero (por exemplo se o componente z fosse 0), a equação correspondente seria z= constante (e não se colocaria na fração simétrica).
  • Pode-se também escrever a fração com denominador negativo de forma equivalente, por exemplo \dfrac{z-0}{-1}=-z; uma forma alternativa é
\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{4}=-z.

Passo 6

Cheque rápido com um valor de t para ver se bate: para t=0 as paramétricas dão x=1,\;y=3,\;z=0, que é exatamente o ponto A. Para t=1 dão x=4,\;y=7,\;z=-1, que é um outro ponto sobre a reta — tudo consistente.

Resposta

Equações paramétricas: x=1+3t,\quad y=3+4t,\quad z=-t,\quad t\in\mathbb{R}
Equações simétricas: \frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-0}{-1}

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