Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado dá claramente duas informações e pede duas coisas — vou listar tudo de modo bem organizado.
Dados:
- Ponto
com coordenadas . - Vetor diretor
.
O que pede:
- As equações paramétricas da reta que passa por
e tem direção . - As equações simétricas dessa mesma reta.
Passo 2
Ideia básica (em palavras simples): uma reta no espaço pode ser descrita como o conjunto de pontos obtidos ao partir de um ponto conhecido
e somar múltiplos reais de um vetor direção
. Esse múltiplo real é o parâmetro (chamaremos de
). Escrevendo isso em forma vetorial temos a forma vetorial da reta.
Fórmula vetorial padrão:
onde:
-
é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta (representa as coordenadas desse ponto), -
é o vetor posição do ponto conhecido da reta (aqui ), -
é o vetor direção da reta (aqui ), -
é o parâmetro real que “varre” a reta.
Passo 3
Transformando a forma vetorial em equações paramétricas: escrevendo a igualdade coordenada a coordenada.
Partindo de
obtemos as equações coordenadas
Explicando cada linha: por exemplo
é a componente
do ponto inicial
mais
vezes o parâmetro
, porque a componente
do vetor direção é
. O mesmo raciocínio vale para
e
.
Também é importante dizer o domínio do parâmetro:
ou seja, ao variar
por todos os reais obtemos todos os pontos da reta.
Passo 4
Agora vamos obter as equações simétricas. A ideia é eliminar
entre as equações paramétricas: resolver cada equação para
e igualar.
Das equações paramétricas:
Igualando as três expressões para
obtemos a forma simétrica padrão:
Passo 5
Observações úteis para a prova (e para não errar na hora):
- A forma simétrica só é válida quando os componentes do vetor direção não são zero. Aqui
tem todos os componentes não nulos, então a forma simétrica acima é perfeitamente legal. - Se algum componente do vetor direção fosse zero (por exemplo se o componente
fosse ), a equação correspondente seria constante (e não se colocaria na fração simétrica). - Pode-se também escrever a fração com denominador negativo de forma equivalente, por exemplo
; uma forma alternativa é
Passo 6
Cheque rápido com um valor de
para ver se bate: para
as paramétricas dão
, que é exatamente o ponto
. Para
dão
, que é um outro ponto sobre a reta — tudo consistente.
Resposta
Equações paramétricas:
Equações simétricas: