Determinar o ponto P com abscissa zero e um vetor diretor \vec{v} de cada uma das retas:
\left\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{3}=\frac{z+4}{5} \\\ y=-3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a reta por meio do sistema
\begin{cases} \frac{x-2}{3}=\frac{z+4}{5},\\[4pt] y=-3, \end{cases}
e pede duas coisas: (1) um ponto P dessa reta cuja abscissa (ou seja, a coordenada x) seja zero; (2) um vetor diretor \vec{v} da reta.
Informações relevantes fornecidas:
  • A igualdade \dfrac{x-2}{3}=\dfrac{z+4}{5} relaciona x e z.
  • A coordenada y é fixa e vale y=-3.
  • Precisamos encontrar um ponto com x=0 que satisfaça as equações e um vetor diretor da reta.]

Passo 2

Entender a forma simétrica e como passar para a forma paramétrica (a forma mais prática aqui).
Quando aparece uma igualdade do tipo
\frac{x-2}{3}=\frac{z+4}{5},
podemos introduzir um parâmetro t para representar esse valor comum: escreveremos
\frac{x-2}{3}=\frac{z+4}{5}=t.
Isto significa que cada fração é igual a t. A partir daí obtemos expressões para x e z em função de t. A equação y=-3 já nos diz que y é constante.

Passo 3

Obter as equações paramétricas da reta. Igualando as frações a t temos:
\frac{x-2}{3}=t \quad\Rightarrow\quad x=2+3t,
\frac{z+4}{5}=t \quad\Rightarrow\quad z=-4+5t,
e já sabemos que
y=-3.
Logo a reta em forma paramétrica é
\bigl(x,y,z\bigr)=(2,-3,-4)+t\,(3,0,5).
Aqui o primeiro ponto (2,-3,-4) é o ponto correspondente a t=0 e o segundo termo t(3,0,5) dá a direção da reta conforme t varia.

Passo 4

Identificar o vetor diretor \vec{v}.
A partir da forma paramétrica acima, o coeficiente de t é exatamente um vetor diretor da reta. Portanto um vetor diretor é
\vec{v}=(3,0,5).
Explicação por palavras: ao aumentar t em 1 as coordenadas mudam em (3,0,5), logo essa é uma direção tangente à reta.

Passo 5

Encontrar o parâmetro t que produz abscissa x=0.
Usamos a expressão x=2+3t e impomos x=0. Assim:
0=2+3t \quad\Rightarrow\quad 3t=-2 \quad\Rightarrow\quad t=-\frac{2}{3}.

Passo 6

Calcular a coordenada z correspondente a t=-\dfrac{2}{3} e lembrar que y=-3.
Usamos z=-4+5t:
z=-4+5\!\left(-\frac{2}{3}\right)=-4-\frac{10}{3}.
Reescrevendo -4 como -\dfrac{12}{3} para somar frações:
z=-\frac{12}{3}-\frac{10}{3}=-\frac{22}{3}.
Portanto, para t=-\dfrac{2}{3} temos x=0,\; y=-3,\; z=-\dfrac{22}{3}.

Passo 7

Verificação rápida (checar que o ponto calculado satisfaz a relação inicial):
Para o ponto \bigl(0,-3,-\tfrac{22}{3}\bigr) calculemos as frações da equação simétrica:
\frac{x-2}{3}=\frac{0-2}{3}=-\frac{2}{3}, \qquad \frac{z+4}{5}=\frac{-\tfrac{22}{3}+4}{5}=\frac{-\tfrac{22}{3}+\tfrac{12}{3}}{5}=\frac{-\tfrac{10}{3}}{5}=-\frac{2}{3}.
As duas frações coincidem e valem -\dfrac{2}{3}, e y=-3 é satisfeito, portanto o ponto está correto.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
  • Sempre transforme formas simétricas em paramétricas com t quando puder; o vetor diretor aparece diretamente como coeficiente de t.
  • Se uma das coordenadas aparece fixada (aqui y=-3), isso corresponde a componente zero no vetor diretor naquela coordenada (aqui segunda componente é 0).
  • Para achar um ponto com certa abscissa basta resolver a equação da coordenada x em função de t e substituir.

Resposta

P=\left(0,-3,-\dfrac{22}{3}\right)
\vec{v}=(3,0,5)

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