Determinar o ponto
com abscissa zero e um vetor diretor
de cada uma das retas:
Passo 1
O enunciado dá a reta por meio do sistema
e pede duas coisas: (1) um ponto
dessa reta cuja abscissa (ou seja, a coordenada
) seja zero; (2) um vetor diretor
da reta.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A igualdade
relaciona e . - A coordenada
é fixa e vale . - Precisamos encontrar um ponto com
que satisfaça as equações e um vetor diretor da reta.]
Passo 2
Entender a forma simétrica e como passar para a forma paramétrica (a forma mais prática aqui).
Quando aparece uma igualdade do tipo
Quando aparece uma igualdade do tipo
podemos introduzir um parâmetro
para representar esse valor comum: escreveremos
Isto significa que cada fração é igual a
. A partir daí obtemos expressões para
e
em função de
. A equação
já nos diz que
é constante.
Passo 3
Obter as equações paramétricas da reta. Igualando as frações a
temos:
e já sabemos que
Logo a reta em forma paramétrica é
Aqui o primeiro ponto
é o ponto correspondente a
e o segundo termo
dá a direção da reta conforme
varia.
Passo 4
Identificar o vetor diretor
.
A partir da forma paramétrica acima, o coeficiente de é exatamente um vetor diretor da reta. Portanto um vetor diretor é
A partir da forma paramétrica acima, o coeficiente de
Explicação por palavras: ao aumentar
em
as coordenadas mudam em
, logo essa é uma direção tangente à reta.
Passo 5
Encontrar o parâmetro
que produz abscissa
.
Usamos a expressão e impomos
. Assim:
Usamos a expressão
Passo 6
Calcular a coordenada
correspondente a
e lembrar que
.
Usamos :
Usamos
Reescrevendo
como
para somar frações:
Portanto, para
temos
.
Passo 7
Verificação rápida (checar que o ponto calculado satisfaz a relação inicial):
Para o ponto calculemos as frações da equação simétrica:
Para o ponto
As duas frações coincidem e valem
, e
é satisfeito, portanto o ponto está correto.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (resumo prático):
- Sempre transforme formas simétricas em paramétricas com
quando puder; o vetor diretor aparece diretamente como coeficiente de . - Se uma das coordenadas aparece fixada (aqui
), isso corresponde a componente zero no vetor diretor naquela coordenada (aqui segunda componente é ). - Para achar um ponto com certa abscissa basta resolver a equação da coordenada
em função de e substituir.